Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 60 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Докажите, что:
а) выражение \(\frac{(a + b)^2}{ab} \cdot \frac{(a — b)^2}{ab}\) тождественно равно 4;
б) выражение \(\frac{(a + b)^2}{a^2 + b^2} + \frac{(a — b)^2}{a^2 + b^2}\) тождественно равно 2.
а) \(\frac{(a + b)^2}{ab} — \frac{(a — b)^2}{ab} = 4\)
\(\frac{a^2 + 2ab + b^2 — (a^2 — 2ab + b^2)}{ab} = 4\)
\(\frac{a^2 + 2ab + b^2 — a^2 + 2ab — b^2}{ab} = 4\)
\(\frac{4ab}{ab} = 4\)
\(4 = 4\) — верно.
б) \(\frac{(a + b)^2}{a^2 + b^2} + \frac{(a — b)^2}{a^2 + b^2} = 2\)
\(\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 + b^2} + \frac{a^2 — 2ab + b^2}{a^2 + b^2} = 2\)
\(\frac{a^2 + 2ab + b^2 + a^2 — 2ab + b^2}{a^2 + b^2} = 2\)
\(\frac{2a^2 + 2b^2}{a^2 + b^2} = 2\)
\(\frac{2(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = 2\)
\(2 = 2\) — верно.
а) В этом выражении мы рассматриваем разность двух дробей с одинаковым знаменателем \(ab\), где числители — квадраты сумм и разностей \(a\) и \(b\). Сначала раскрываем скобки в числителях по формуле квадрата суммы и квадрата разности: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) и \((a-b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Подставляя это в исходное выражение, получаем разность числителей: \(a^2 + 2ab + b^2 — (a^2 — 2ab + b^2)\). При раскрытии скобок меняем знаки у каждого слагаемого второго выражения.
Далее упрощаем числитель, сокращая одинаковые члены \(a^2\) и \(b^2\), которые взаимно уничтожаются, и складываем оставшиеся: \(2ab + 2ab = 4ab\). Теперь числитель стал равен \(4ab\), а знаменатель остался \(ab\). Делим \(4ab\) на \(ab\), сокращая одинаковые множители, получаем 4. Таким образом, исходное выражение равно 4.
В конце убеждаемся, что левая часть равенства действительно равна правой: \(4 = 4\). Это доказывает, что исходное равенство верно при любых значениях \(a\) и \(b\), при условии что знаменатель \(ab \neq 0\).
б) Здесь мы складываем две дроби с одинаковым знаменателем \(a^2 + b^2\), в числителях которых стоят квадраты суммы и разности \(a\) и \(b\). Раскрываем скобки в числителях по формулам: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) и \((a-b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Складывая числители, получаем \(a^2 + 2ab + b^2 + a^2 — 2ab + b^2\).
При сложении числителей слагаемые \(+2ab\) и \(-2ab\) взаимно уничтожаются, остаются только \(a^2 + a^2 + b^2 + b^2 = 2a^2 + 2b^2\). Теперь выражение принимает вид \(\frac{2a^2 + 2b^2}{a^2 + b^2}\).
Выносим общий множитель 2 в числителе: \(\frac{2(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2}\). Сокращаем одинаковые выражения в числителе и знаменателе, получаем 2. Это значит, что исходное выражение равно 2.
Проверяем равенство с правой частью: \(2 = 2\). Следовательно, исходное равенство справедливо для всех значений \(a\) и \(b\), при условии \(a^2 + b^2 \neq 0\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!