ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 60 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что:
а) выражение \(\frac{(a + b)^2}{ab} \cdot \frac{(a — b)^2}{ab}\) тождественно равно 4;
б) выражение \(\frac{(a + b)^2}{a^2 + b^2} + \frac{(a — b)^2}{a^2 + b^2}\) тождественно равно 2.

а) \(\frac{(a + b)^2}{ab} — \frac{(a — b)^2}{ab} = 4\)

\(\frac{a^2 + 2ab + b^2 — (a^2 — 2ab + b^2)}{ab} = 4\)

\(\frac{a^2 + 2ab + b^2 — a^2 + 2ab — b^2}{ab} = 4\)

\(\frac{4ab}{ab} = 4\)

\(4 = 4\) — верно.

б) \(\frac{(a + b)^2}{a^2 + b^2} + \frac{(a — b)^2}{a^2 + b^2} = 2\)

\(\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 + b^2} + \frac{a^2 — 2ab + b^2}{a^2 + b^2} = 2\)

\(\frac{a^2 + 2ab + b^2 + a^2 — 2ab + b^2}{a^2 + b^2} = 2\)

\(\frac{2a^2 + 2b^2}{a^2 + b^2} = 2\)

\(\frac{2(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = 2\)

\(2 = 2\) — верно.

а) В этом выражении мы рассматриваем разность двух дробей с одинаковым знаменателем \(ab\), где числители — квадраты сумм и разностей \(a\) и \(b\). Сначала раскрываем скобки в числителях по формуле квадрата суммы и квадрата разности: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) и \((a-b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Подставляя это в исходное выражение, получаем разность числителей: \(a^2 + 2ab + b^2 — (a^2 — 2ab + b^2)\). При раскрытии скобок меняем знаки у каждого слагаемого второго выражения.

Далее упрощаем числитель, сокращая одинаковые члены \(a^2\) и \(b^2\), которые взаимно уничтожаются, и складываем оставшиеся: \(2ab + 2ab = 4ab\). Теперь числитель стал равен \(4ab\), а знаменатель остался \(ab\). Делим \(4ab\) на \(ab\), сокращая одинаковые множители, получаем 4. Таким образом, исходное выражение равно 4.

В конце убеждаемся, что левая часть равенства действительно равна правой: \(4 = 4\). Это доказывает, что исходное равенство верно при любых значениях \(a\) и \(b\), при условии что знаменатель \(ab \neq 0\).

б) Здесь мы складываем две дроби с одинаковым знаменателем \(a^2 + b^2\), в числителях которых стоят квадраты суммы и разности \(a\) и \(b\). Раскрываем скобки в числителях по формулам: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) и \((a-b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\). Складывая числители, получаем \(a^2 + 2ab + b^2 + a^2 — 2ab + b^2\).

При сложении числителей слагаемые \(+2ab\) и \(-2ab\) взаимно уничтожаются, остаются только \(a^2 + a^2 + b^2 + b^2 = 2a^2 + 2b^2\). Теперь выражение принимает вид \(\frac{2a^2 + 2b^2}{a^2 + b^2}\).

Выносим общий множитель 2 в числителе: \(\frac{2(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2}\). Сокращаем одинаковые выражения в числителе и знаменателе, получаем 2. Это значит, что исходное выражение равно 2.

Проверяем равенство с правой частью: \(2 = 2\). Следовательно, исходное равенство справедливо для всех значений \(a\) и \(b\), при условии \(a^2 + b^2 \neq 0\).