ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 600 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Имеет ли корни многочлен:
а) \(x^2 + 1\);
б) \(x^3 — 27\);
в) \(-2y^6 — 1\);
г) \(y^4 + 3y^2 + 7\)?

\(a) \quad x^2 + 1 = 0 \)
\(x^2 = -1 \Rightarrow\) корней нет.
Ответ: корней нет.

\(б) \quad x^3 — 27 = 0 \)
\(x^3 = 27 \)
\(x = 3.\)
Ответ: \(x = 3.\)

\(в) \quad -2y^6 — 1 = 0 \)
\(2y^6 = -1 \)
\(y^6 = -\frac{1}{2} \Rightarrow\) корней нет.
Ответ: корней нет.

\(г) \quad y^4 + 3y^2 + 7 = 0.\)
Замена: \(y^2 = t.\)
\(t^2 + 3t + 7 = 0.\)
\(D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 — 28 = -19 < 0 \Rightarrow\) корней нет. Ответ: корней нет.

а) \(x^2 + 1 = 0\)
Для решения уравнения сначала перенесём свободный член в правую часть:
\(x^2 = -1\).
Далее нужно найти число \(x\), квадрат которого равен \(-1\). Однако, в множестве действительных чисел квадрат любого числа не может быть отрицательным, так как \(x^2 \geq 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\). Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Поскольку в условии не указано рассматривать комплексные числа, ответ будет, что корней нет. Таким образом, уравнение не имеет решений в области действительных чисел.
Ответ: корней нет.

б) \(x^3 — 27 = 0\)
Переносим свободный член в правую часть:
\(x^3 = 27\).
Теперь нужно найти число \(x\), куб которого равен 27. Поскольку \(27 = 3^3\), очевидно, что \(x = 3\).

Проверка: \(3^3 = 27\), что совпадает с правой частью уравнения. Уравнение имеет единственный корень \(x = 3\).
Ответ: \(x = 3.\)

в) \(-2y^6 — 1 = 0\)
Переносим свободный член в правую часть:
\(-2y^6 = 1\),
откуда
\(2y^6 = -1\).
Делим обе части на 2:
\(y^6 = -\frac{1}{2}\).

Так как \(y^6\) — степень с чётным показателем, результат всегда неотрицателен для действительных чисел, а здесь он равен отрицательному числу \(-\frac{1}{2}\). Значит, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

г) \(y^4 + 3y^2 + 7 = 0\)
Для удобства введём замену:
\(y^2 = t\).
Тогда уравнение принимает вид:
\(t^2 + 3t + 7 = 0\).

Это квадратное уравнение относительно \(t\). Найдём дискриминант:
\(D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 — 28 = -19\).
Дискриминант отрицателен, значит, уравнение не имеет действительных корней \(t\).

Так как \(t = y^2\) и \(t\) не может принимать комплексных значений в данном контексте, уравнение не имеет решений для \(y\) в действительных числах.
Ответ: корней нет.