ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 601 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Какие из чисел \(1, 2, 3 — \sqrt{2}, -7 + \sqrt{2}\) являются корнями квадратного трёхчлена \(x^2 — 6x + 7\)?

\(x^2 — 6x + 7 = 0.\)
\(D = 36 — 4 \cdot 7 = 36 — 28 = 8.\)
\(x_1 = \frac{6 — \sqrt{8}}{2} = \frac{6 — 2\sqrt{2}}{2} = \frac{2(3 — \sqrt{2})}{2} = 3 — \sqrt{2};\)
\(x_2 = \frac{6 + \sqrt{8}}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{2}}{2} = \frac{2(3 + \sqrt{2})}{2} = 3 + \sqrt{2}.\)
Таким образом, из чисел \(1, 2, 3 — \sqrt{2}, -7 + \sqrt{2}\) корнями квадратного трехчлена \(x^2 — 6x + 7\) является \(\left(3 — \sqrt{2}\right).\)
Ответ: \(x = 3 — \sqrt{2}.\)

\(x^2 — 6x + 7 = 0.\)
Для решения квадратного уравнения сначала вычислим дискриминант \(D\), который по формуле равен \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 7.\) Подставляя значения, получаем
\(D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 — 28 = 8.\)
Дискриминант положительный, значит уравнение имеет два различных вещественных корня.

Для нахождения корней используем формулу
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\)
Подставляя \(b = -6\), \(D = 8\), \(a = 1\), получаем
\(x = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2}.\)
Так как \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), перепишем корни как
\(x_1 = \frac{6 — 2\sqrt{2}}{2},\)
\(x_2 = \frac{6 + 2\sqrt{2}}{2}.\)

Упрощая дроби:
\(x_1 = \frac{6}{2} — \frac{2\sqrt{2}}{2} = 3 — \sqrt{2},\)
\(x_2 = \frac{6}{2} + \frac{2\sqrt{2}}{2} = 3 + \sqrt{2}.\)
Таким образом, корни уравнения — это числа \(3 — \sqrt{2}\) и \(3 + \sqrt{2}.\)

Из предложенного множества чисел \(1, 2, 3 — \sqrt{2}, -7 + \sqrt{2}\) только \(3 — \sqrt{2}\) является корнем данного квадратного уравнения. Это подтверждается тем, что \(3 — \sqrt{2}\) — один из корней, найденных по формуле, а остальные числа не удовлетворяют уравнению.

Ответ: \(x = 3 — \sqrt{2}.\)