ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 602 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите корни квадратного трёхчлена:
а) \(x^2 + x — 6\);
б) \(9x^2 — 9x + 2\);
в) \(0,2x^2 + 3x — 20\);
г) \(-2x^2 — x — 0,125\);
д) \(0,1x^2 + 0,4\);
е) \(-0,3x^2 + 1,5x\).

а) \(x^2 + x — 6 = 0.\)
\(D = 1 + 4 \cdot 6 = 25 = 5^2.\)
\(x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3; \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2.\)
Ответ: \(x = -3\) и \(x = 2.\)

б) \(9x^2 — 9x + 2 = 0.\)
\(D = 81 — 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 — 72 = 9 = 3^2.\)
\(x_1 = \frac{9 — 3}{2 \cdot 9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}; \quad x_2 = \frac{9 + 3}{2 \cdot 9} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}.\)
Ответ: \(x = \frac{1}{3}\) и \(x = \frac{2}{3}.\)

в) \(0{,}2x^2 + 3x — 20 = 0 \quad | \cdot 5\)
\(x^2 + 15x — 100 = 0.\)
\(D = 225 + 4 \cdot 100 = 225 + 400 = 625 = 25^2.\)
\(x_1 = \frac{-15 — 25}{2} = \frac{-40}{2} = -20; \quad x_2 = \frac{-15 + 25}{2} = \frac{10}{2} = 5.\)
Ответ: \(x = -20\) и \(x = 5.\)

г) \(-2x^2 — x — 0{,}125 = 0 \quad | \cdot (-8)\)
\(16x^2 + 8x + 1 = 0\)
\((4x + 1)^2 = 0\)
\(4x + 1 = 0\)
\(4x = -1\)
\(x = -0{,}25.\)
Ответ: \(x = -0{,}25.\)

д) \(0{,}1x^2 + 0{,}4 = 0 \quad | \cdot 10\)
\(x^2 + 4 = 0\)
\(x^2 = -4 \Rightarrow\) корней нет.
Ответ: корней нет.

е) \(-0{,}3x^2 + 1{,}5x = 0 \quad | \cdot 10\)
\(-3x^2 + 15x = 0\)
\(3x^2 — 15x = 0\)
\(3x(x — 5) = 0\)
\(x = 0\) или \(x = 5.\)
Ответ: \(x = 0\) или \(x = 5.\)

а) Решаем квадратное уравнение \(x^2 + x — 6 = 0\). Для начала вычисляем дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -6\). Подставляем значения: \(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\). Так как дискриминант положительный и является квадратом числа 5, уравнение имеет два действительных корня.

Далее находим корни по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставляем: \(x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3\), \(x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\). Таким образом, корни уравнения: \(x = -3\) и \(x = 2\).

б) Рассмотрим уравнение \(9x^2 — 9x + 2 = 0\). Сначала вычисляем дискриминант: \(D = (-9)^2 — 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 — 72 = 9\). Дискриминант равен \(3^2\), значит, корни будут рациональными.

Находим корни по формуле: \(x_1 = \frac{9 — 3}{2 \cdot 9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}\) и \(x_2 = \frac{9 + 3}{2 \cdot 9} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}\). Корни уравнения: \(x = \frac{1}{3}\) и \(x = \frac{2}{3}\).

в) Уравнение \(0{,}2x^2 + 3x — 20 = 0\) умножаем на 5, чтобы избавиться от десятичных коэффициентов: \(x^2 + 15x — 100 = 0\). Вычисляем дискриминант: \(D = 15^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 225 + 400 = 625 = 25^2\). Это значит, что корни будут целыми числами.

Находим корни: \(x_1 = \frac{-15 — 25}{2} = \frac{-40}{2} = -20\), \(x_2 = \frac{-15 + 25}{2} = \frac{10}{2} = 5\). Корни уравнения: \(x = -20\) и \(x = 5\).

г) Уравнение \(-2x^2 — x — 0{,}125 = 0\) умножаем на \(-8\) для удобства: \(16x^2 + 8x + 1 = 0\). Замечаем, что левая часть — это квадрат двучлена: \((4x + 1)^2 = 0\). Значит, уравнение имеет один корень.

Решаем: \(4x + 1 = 0\), откуда \(4x = -1\), и \(x = -0{,}25\). Корень уравнения: \(x = -0{,}25\).

д) Уравнение \(0{,}1x^2 + 0{,}4 = 0\) умножаем на 10: \(x^2 + 4 = 0\). Переносим 4 в правую часть: \(x^2 = -4\). Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, решений нет, множество корней пусто, обозначается как \( \emptyset \).

е) Уравнение \(-0{,}3x^2 + 1{,}5x = 0\) умножаем на 10: \(-3x^2 + 15x = 0\). Переносим знак: \(3x^2 — 15x = 0\). Выносим общий множитель: \(3x(x — 5) = 0\).

Равенство равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \(3x = 0 \Rightarrow x = 0\) или \(x — 5 = 0 \Rightarrow x = 5\). Корни уравнения: \(x = 0\) и \(x = 5\).