ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 603 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите корни квадратного трёхчлена:
а) \(10x^2 + 5x — 5\);
б) \(-2x^2 + 12x — 18\);
в) \(x^2 — 2x — 4\);
г) \(12x^2 — 12\).

\( а) \quad 10x^2 + 5x — 5 = 0 \quad | : 5 \)
\( 2x^2 + x — 1 = 0. \)
\( D = 1 + 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 = 3^2. \)
\( x_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1; \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0,5. \)
Ответ: \( x = -1 \) и \( x = 0,5. \)

\( б) \quad -2x^2 + 12x — 18 = 0 \quad | : (-2) \)
\( x^2 — 6x + 9 = 0 \)
\( (x — 3)^2 = 0 \)
\( x — 3 = 0 \)
\( x = 3. \)
Ответ: \( x = 3. \)

\( в) \quad x^2 — 2x — 4 = 0. \)
\( D = 4 + 4 \cdot 4 = 20. \)
\( x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}. \)
Ответ: \( x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{5}. \)

\( г) \quad 12x^2 — 12 = 0 \)
\( 12x^2 = 12 \)
\( x^2 = 1 \)
\( x = \pm 1. \)
Ответ: \( x = \pm 1. \)

а) Уравнение \( 10x^2 + 5x — 5 = 0 \) делим на 5, чтобы упростить коэффициенты, получаем \( 2x^2 + x — 1 = 0 \). Это стандартное квадратное уравнение, для решения которого находим дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 2 \), \( b = 1 \), \( c = -1 \). Вычисляем: \( D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \). Поскольку дискриминант положителен и является квадратом числа 3, уравнение имеет два действительных корня.

Для нахождения корней используем формулу \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Подставляем значения:
\( x_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 \),
\( x_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0,5 \).
Таким образом, решения уравнения — \( x = -1 \) и \( x = 0,5 \).

б) Начальное уравнение \( -2x^2 + 12x — 18 = 0 \) делим на \(-2\) для упрощения:
\( x^2 — 6x + 9 = 0 \). Это квадратное уравнение с коэффициентами \( a=1 \), \( b=-6 \), \( c=9 \). Вычисляем дискриминант:
\( D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 — 36 = 0 \). Нулевой дискриминант означает, что уравнение имеет один корень, причем кратный.

Записываем уравнение в виде полного квадрата:
\( (x — 3)^2 = 0 \), откуда \( x — 3 = 0 \), значит \( x = 3 \).
Это единственный корень уравнения.

в) Уравнение \( x^2 — 2x — 4 = 0 \) решаем через дискриминант:
\( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20 \). Дискриминант положителен, значит два корня.
Находим корни по формуле:
\( x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5} \).
Корни выражены через иррациональное число \( \sqrt{5} \).

г) Уравнение \( 12x^2 — 12 = 0 \) приводим к виду \( 12x^2 = 12 \), делим обе части на 12:
\( x^2 = 1 \).
Извлекаем корень:
\( x = \pm 1 \).
Два корня, противоположные по знаку, что характерно для уравнений вида \( x^2 = a \).