ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 605 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Имеет ли квадратный трёхчлен корни и если имеет, то сколько:
а) \(-4x^2 — 4x + 3\);
б) \(4x^2 — 4x + 3\);
в) \(9x^2 — 12x + 4\);
г) \(9x^2 — 12x — 4\)?

а) \(-4x^2 — 4x + 3 = 0.\)
\(D = 16 + 4 \cdot 4 \cdot 3 = 16 + 48 = 64 > 0 \Rightarrow\) два корня.
Ответ: имеет два корня.

б) \(4x^2 — 4x + 3 = 0.\)
\(D = 16 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 16 — 48 = -32 < 0 \Rightarrow\) корней нет. Ответ: не имеет корней.

в) \(9x^2 — 12x + 4 = 0.\) \(D = 144 — 4 \cdot 9 \cdot 4 = 144 — 144 = 0 \Rightarrow\) один корень. Ответ: имеет один корень.

г) \(9x^2 — 12x — 4 = 0.\) \(D = 144 + 4 \cdot 9 \cdot 4 = 144 + 144 = 288 > 0 \Rightarrow\) два корня.
Ответ: имеет два корня.

а) \(-4x^2 — 4x + 3 = 0.\) Для решения квадратного уравнения сначала вычислим дискриминант \(D\), который показывает количество корней уравнения. Формула для дискриминанта: \(D = b^2 — 4ac\). Здесь \(a = -4\), \(b = -4\), \(c = 3\). Подставляем значения: \(D = (-4)^2 — 4 \cdot (-4) \cdot 3 = 16 + 48 = 64\). Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два различных вещественных корня. Это означает, что график параболы пересекает ось \(x\) в двух точках.

Далее, по значению дискриминанта можно определить количество корней: если \(D > 0\), корня два; если \(D = 0\), корень один; если \(D < 0\), корней нет в множестве вещественных чисел. В данном случае \(D = 64 > 0\), значит уравнение имеет два корня. Ответ: имеет два корня.

б) \(4x^2 — 4x + 3 = 0.\) Снова вычисляем дискриминант: \(a = 4\), \(b = -4\), \(c = 3\). Формула: \(D = b^2 — 4ac = (-4)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 16 — 48 = -32\). Значение \(D < 0\) означает, что уравнение не имеет вещественных корней, то есть нет точек пересечения параболы с осью \(x\). Отрицательный дискриминант говорит о том, что корни комплексные и вещественных решений у уравнения нет. Поэтому ответ: не имеет корней. в) \(9x^2 — 12x + 4 = 0.\) Вычисляем дискриминант: \(a = 9\), \(b = -12\), \(c = 4\). Подставляем: \(D = (-12)^2 — 4 \cdot 9 \cdot 4 = 144 — 144 = 0\). Нулевой дискриминант указывает на один вещественный корень с кратностью два, то есть касание параболой оси \(x\) в одной точке. Это значит, что уравнение имеет ровно один корень, который можно найти по формуле \(x = \frac{-b}{2a}\). Ответ: имеет один корень.

г) \(9x^2 — 12x — 4 = 0.\) Считаем дискриминант: \(a = 9\), \(b = -12\), \(c = -4\). Подставляем: \(D = (-12)^2 — 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 144 + 144 = 288\). Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два различных вещественных корня, что соответствует двум точкам пересечения параболы с осью \(x\).

Дискриминант положителен, значит корни существуют и они вещественные. Следовательно, ответ: имеет два корня.