ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 608 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выделите квадрат двучлена из квадратного трёхчлена:
а) \(x^2 — 10x + 10\);
б) \(x^2 + 3x — 1\);
в) \(3x^2 + 6x — 3\);
г) \(\frac{1}{4}x^2 — x + 2\).

\( \text{а) } x^2 — 10x + 10 = x^2 — 2 \cdot 5x + 25 — 25 + 10 = \)
\( = (x^2 — 10x + 25) — 15 = (x — 5)^2 — 15. \)

\( \text{б) } x^2 + 3x — 1 = x^2 + 2 \cdot 1{,}5x + 1{,}5^2 — 1{,}5^2 — 1 = \)
\( = (x^2 + 3x + 2{,}25) — 2{,}25 — 1 = (x + 1{,}5)^2 — 3{,}25. \)

\( \text{в) } 3x^2 + 6x — 3 = 3(x^2 + 2x — 1) = 3(x^2 + 2x + 1 — 2) = \)
\( = 3\bigl((x^2 + 2x + 1) — 2\bigr) = 3(x + 1)^2 — 6. \)

\( \text{г) } \frac{1}{4}x^2 — x + 2 = \frac{1}{4}(x^2 — 4x + 8) = \frac{1}{4}(x^2 — 4x + 4 + 4) = \)
\( = \frac{1}{4}\bigl((x^2 — 4x + 4) + 4\bigr) = \frac{1}{4}(x — 2)^2 + 1. \)

а) Начинаем с выражения \(x^2 — 10x + 10\). Цель — представить его в виде полного квадрата минус или плюс некоторое число, чтобы упростить. Для этого выделяем полный квадрат, добавляя и вычитая квадрат половины коэффициента при \(x\). Коэффициент при \(x\) равен \(-10\), половина от него \(-5\), квадрат — \(25\). Добавляем и вычитаем 25:
\(x^2 — 10x + 10 = x^2 — 10x + 25 — 25 + 10 = (x^2 — 10x + 25) — 15\).

Далее выражение в скобках — это квадрат бинома: \((x — 5)^2\). Значит, исходное выражение равно \( (x — 5)^2 — 15 \). Таким образом, мы преобразовали исходный многочлен к более удобной форме, где видно, что это квадрат разности минус 15.

б) Рассмотрим выражение \(x^2 + 3x — 1\). Аналогично выделяем полный квадрат. Половина коэффициента при \(x\) равна \( \frac{3}{2} = 1{,}5 \), её квадрат — \(1{,}5^2 = 2{,}25\). Добавляем и вычитаем это число:
\(x^2 + 3x — 1 = x^2 + 3x + 2{,}25 — 2{,}25 — 1 = (x^2 + 3x + 2{,}25) — 3{,}25\).

Выражение в скобках — это квадрат бинома \((x + 1{,}5)^2\). Следовательно, исходный многочлен равен \( (x + 1{,}5)^2 — 3{,}25 \). Такой способ упрощения полезен для дальнейших преобразований и анализа функций.

в) В выражении \(3x^2 + 6x — 3\) сначала выносим общий множитель \(3\):
\(3x^2 + 6x — 3 = 3(x^2 + 2x — 1)\).

Далее внутри скобок выделяем полный квадрат. Половина коэффициента при \(x\) равна 1, её квадрат — 1. Добавляем и вычитаем 1:
\(x^2 + 2x — 1 = x^2 + 2x + 1 — 1 — 1 = (x^2 + 2x + 1) — 2\).

Выражение в скобках — это квадрат бинома \((x + 1)^2\). Подставляем обратно:
\(3(x + 1)^2 — 6\). Таким образом, исходное выражение переписано через квадратный трёхчлен, что упрощает анализ.

г) Рассмотрим выражение \(\frac{1}{4}x^2 — x + 2\). Чтобы выделить полный квадрат, сначала представим это как
\(\frac{1}{4}x^2 — x + 2 = \frac{1}{4}(x^2 — 4x + 8)\), вынеся \(\frac{1}{4}\) за скобки.

Теперь внутри скобок выделяем полный квадрат. Половина коэффициента при \(x\) равна \(-2\), её квадрат — \(4\). Добавляем и вычитаем 4:
\(x^2 — 4x + 8 = x^2 — 4x + 4 + 4 = (x — 2)^2 + 4\).

Подставляя назад, получаем:
\(\frac{1}{4}((x — 2)^2 + 4) = \frac{1}{4}(x — 2)^2 + 1\). Таким образом, исходное выражение переписано в виде суммы квадрата с коэффициентом и числа 1, что удобно для анализа и решения уравнений.