ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 609 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

(Для работы в парах.) Докажите, что при любом значении \(x\) квадратный трёхчлен:
а) \(x^2 — 6x + 10\) принимает положительное значение;
б) \(5x^2 — 10x + 5\) принимает неотрицательное значение;
в) \(-x^2 + 20x — 100\) принимает неположительное значение;
г) \(-2x^2 + 16x — 33\) принимает отрицательное значение;
д) \(x^2 — 0,32x + 0,0256\) принимает неотрицательное значение;
е) \(4x^2 + 0,8x + 2\) принимает положительное значение.

1) Обсудите, какие преобразования трёхчленов надо выполнить для доказательства высказанных утверждений.
2) Распределите, кто выполняет задания а), в) и д), а кто задания б), г) и е), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга правильность проведённых доказательств и исправьте ошибки, если они допущены.

\(а) \ x^2 — 6x + 10 = x^2 — 2 \cdot 3x + 9 + 1 = (x — 3)^2 + 1 > 0 \Rightarrow \text{верно.}\)
\(б) \ 5x^2 — 10x + 5 = 5(x^2 — 2x + 1) = 5(x — 1)^2 \geq 0 \Rightarrow \text{верно.}\)
\(в) \ -x^2 + 20x — 100 = -(x^2 — 20x + 100) = -(x — 10)^2 \leq 0 \Rightarrow \text{верно.}\)
\(г) \ -2x^2 + 16x — 33 = -2(x^2 — 8x + 16,5) =\)
\(\quad = -2(x^2 — 8x + 16 + 0,5) = -2(x — 4)^2 — 1 < 0 \Rightarrow \text{верно.}\) \(д) \ x^2 - 0,32x + 0,0256 = (x - 0,16)^2 \geq 0 \Rightarrow \text{верно.}\) \(е) \ 4x^2 + 0,8x + 2 = 4(x^2 + 0,2x + 0,5) =\) \(\quad = 4(x^2 + 2 \cdot 0,1x + 0,1^2 - 0,1^2 + 0,5) =\) \(\quad = 4\big((x + 0,1)^2 - 0,01 + 0,5\big) =\) \(\quad = 4(x + 0,1)^2 + 4 \cdot 0,49 > 0 \Rightarrow \text{верно.}\)

а) Начинаем с выражения \(x^2 — 10x + 10\). Цель — представить его в виде полного квадрата минус или плюс некоторое число, чтобы упростить. Для этого выделяем полный квадрат, добавляя и вычитая квадрат половины коэффициента при \(x\). Коэффициент при \(x\) равен \(-10\), половина от него \(-5\), квадрат — \(25\). Добавляем и вычитаем 25:
\(x^2 — 10x + 10 = x^2 — 10x + 25 — 25 + 10 = (x^2 — 10x + 25) — 15\).

Далее выражение в скобках — это квадрат бинома: \((x — 5)^2\). Значит, исходное выражение равно \( (x — 5)^2 — 15 \). Таким образом, мы преобразовали исходный многочлен к более удобной форме, где видно, что это квадрат разности минус 15.

б) Рассмотрим выражение \(x^2 + 3x — 1\). Аналогично выделяем полный квадрат. Половина коэффициента при \(x\) равна \( \frac{3}{2} = 1{,}5 \), её квадрат — \(1{,}5^2 = 2{,}25\). Добавляем и вычитаем это число:
\(x^2 + 3x — 1 = x^2 + 3x + 2{,}25 — 2{,}25 — 1 = (x^2 + 3x + 2{,}25) — 3{,}25\).

Выражение в скобках — это квадрат бинома \((x + 1{,}5)^2\). Следовательно, исходный многочлен равен \( (x + 1{,}5)^2 — 3{,}25 \). Такой способ упрощения полезен для дальнейших преобразований и анализа функций.

в) В выражении \(3x^2 + 6x — 3\) сначала выносим общий множитель \(3\):
\(3x^2 + 6x — 3 = 3(x^2 + 2x — 1)\).

Далее внутри скобок выделяем полный квадрат. Половина коэффициента при \(x\) равна 1, её квадрат — 1. Добавляем и вычитаем 1:
\(x^2 + 2x — 1 = x^2 + 2x + 1 — 1 — 1 = (x^2 + 2x + 1) — 2\).

Выражение в скобках — это квадрат бинома \((x + 1)^2\). Подставляем обратно:
\(3(x + 1)^2 — 6\). Таким образом, исходное выражение переписано через квадратный трёхчлен, что упрощает анализ.

г) Рассмотрим выражение \(\frac{1}{4}x^2 — x + 2\). Чтобы выделить полный квадрат, сначала представим это как
\(\frac{1}{4}x^2 — x + 2 = \frac{1}{4}(x^2 — 4x + 8)\), вынеся \(\frac{1}{4}\) за скобки.

Теперь внутри скобок выделяем полный квадрат. Половина коэффициента при \(x\) равна \(-2\), её квадрат — \(4\). Добавляем и вычитаем 4:
\(x^2 — 4x + 8 = x^2 — 4x + 4 + 4 = (x — 2)^2 + 4\).

Подставляя назад, получаем:
\(\frac{1}{4}((x — 2)^2 + 4) = \frac{1}{4}(x — 2)^2 + 1\). Таким образом, исходное выражение переписано в виде суммы квадрата с коэффициентом и числа 1, что удобно для анализа и решения уравнений.