Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 609 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
(Для работы в парах.) Докажите, что при любом значении \(x\) квадратный трёхчлен:
а) \(x^2 — 6x + 10\) принимает положительное значение;
б) \(5x^2 — 10x + 5\) принимает неотрицательное значение;
в) \(-x^2 + 20x — 100\) принимает неположительное значение;
г) \(-2x^2 + 16x — 33\) принимает отрицательное значение;
д) \(x^2 — 0,32x + 0,0256\) принимает неотрицательное значение;
е) \(4x^2 + 0,8x + 2\) принимает положительное значение.
1) Обсудите, какие преобразования трёхчленов надо выполнить для доказательства высказанных утверждений.
2) Распределите, кто выполняет задания а), в) и д), а кто задания б), г) и е), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга правильность проведённых доказательств и исправьте ошибки, если они допущены.
\(а) \ x^2 — 6x + 10 = x^2 — 2 \cdot 3x + 9 + 1 = (x — 3)^2 + 1 > 0 \Rightarrow \text{верно.}\)
\(б) \ 5x^2 — 10x + 5 = 5(x^2 — 2x + 1) = 5(x — 1)^2 \geq 0 \Rightarrow \text{верно.}\)
\(в) \ -x^2 + 20x — 100 = -(x^2 — 20x + 100) = -(x — 10)^2 \leq 0 \Rightarrow \text{верно.}\)
\(г) \ -2x^2 + 16x — 33 = -2(x^2 — 8x + 16,5) =\)
\(\quad = -2(x^2 — 8x + 16 + 0,5) = -2(x — 4)^2 — 1 < 0 \Rightarrow \text{верно.}\)
\(д) \ x^2 - 0,32x + 0,0256 = (x - 0,16)^2 \geq 0 \Rightarrow \text{верно.}\)
\(е) \ 4x^2 + 0,8x + 2 = 4(x^2 + 0,2x + 0,5) =\)
\(\quad = 4(x^2 + 2 \cdot 0,1x + 0,1^2 - 0,1^2 + 0,5) =\)
\(\quad = 4\big((x + 0,1)^2 - 0,01 + 0,5\big) =\)
\(\quad = 4(x + 0,1)^2 + 4 \cdot 0,49 > 0 \Rightarrow \text{верно.}\)
а) Начинаем с выражения \(x^2 — 10x + 10\). Цель — представить его в виде полного квадрата минус или плюс некоторое число, чтобы упростить. Для этого выделяем полный квадрат, добавляя и вычитая квадрат половины коэффициента при \(x\). Коэффициент при \(x\) равен \(-10\), половина от него \(-5\), квадрат — \(25\). Добавляем и вычитаем 25:
\(x^2 — 10x + 10 = x^2 — 10x + 25 — 25 + 10 = (x^2 — 10x + 25) — 15\).
Далее выражение в скобках — это квадрат бинома: \((x — 5)^2\). Значит, исходное выражение равно \( (x — 5)^2 — 15 \). Таким образом, мы преобразовали исходный многочлен к более удобной форме, где видно, что это квадрат разности минус 15.
б) Рассмотрим выражение \(x^2 + 3x — 1\). Аналогично выделяем полный квадрат. Половина коэффициента при \(x\) равна \( \frac{3}{2} = 1{,}5 \), её квадрат — \(1{,}5^2 = 2{,}25\). Добавляем и вычитаем это число:
\(x^2 + 3x — 1 = x^2 + 3x + 2{,}25 — 2{,}25 — 1 = (x^2 + 3x + 2{,}25) — 3{,}25\).
Выражение в скобках — это квадрат бинома \((x + 1{,}5)^2\). Следовательно, исходный многочлен равен \( (x + 1{,}5)^2 — 3{,}25 \). Такой способ упрощения полезен для дальнейших преобразований и анализа функций.
в) В выражении \(3x^2 + 6x — 3\) сначала выносим общий множитель \(3\):
\(3x^2 + 6x — 3 = 3(x^2 + 2x — 1)\).
Далее внутри скобок выделяем полный квадрат. Половина коэффициента при \(x\) равна 1, её квадрат — 1. Добавляем и вычитаем 1:
\(x^2 + 2x — 1 = x^2 + 2x + 1 — 1 — 1 = (x^2 + 2x + 1) — 2\).
Выражение в скобках — это квадрат бинома \((x + 1)^2\). Подставляем обратно:
\(3(x + 1)^2 — 6\). Таким образом, исходное выражение переписано через квадратный трёхчлен, что упрощает анализ.
г) Рассмотрим выражение \(\frac{1}{4}x^2 — x + 2\). Чтобы выделить полный квадрат, сначала представим это как
\(\frac{1}{4}x^2 — x + 2 = \frac{1}{4}(x^2 — 4x + 8)\), вынеся \(\frac{1}{4}\) за скобки.
Теперь внутри скобок выделяем полный квадрат. Половина коэффициента при \(x\) равна \(-2\), её квадрат — \(4\). Добавляем и вычитаем 4:
\(x^2 — 4x + 8 = x^2 — 4x + 4 + 4 = (x — 2)^2 + 4\).
Подставляя назад, получаем:
\(\frac{1}{4}((x — 2)^2 + 4) = \frac{1}{4}(x — 2)^2 + 1\). Таким образом, исходное выражение переписано в виде суммы квадрата с коэффициентом и числа 1, что удобно для анализа и решения уравнений.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!