ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 61 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:
а) \(\frac{a^2 — 43}{4 — 6} + \frac{7}{a — 6}\) при \(a = 10,25\);
б) \(\frac{9b — 1}{b^2 — 9} — \frac{6b — 10}{b^2 — 9}\) при \(b = 3,5\).

а) \(\frac{a^2 — 43}{a — 6} + \frac{7}{a — 6} = \frac{a^2 — 43 + 7}{a — 6} = \frac{a^2 — 36}{a — 6} = \frac{(a + 6)(a — 6)}{a — 6} = a + 6\), при \(a = 10{,}25\): \(10{,}25 + 6 = 16{,}25\).

б) \(\frac{9b — 1}{b^2 — 9} — \frac{6b — 10}{b^2 — 9} = \frac{9b — 1 — 6b + 10}{b^2 — 9} = \frac{3b + 9}{b^2 — 9} = \frac{3(b + 3)}{(b — 3)(b + 3)} = \frac{3}{b — 3}\), при \(b = 3{,}5\): \(\frac{3}{3{,}5 — 3} = \frac{3}{0{,}5} = \frac{30}{5} = 6\).

а) Выражение состоит из двух слагаемых с одинаковым знаменателем \(a — 6\), поэтому их можно объединить в одну дробь, сложив числители: \(\frac{a^2 — 43}{a — 6} + \frac{7}{a — 6} = \frac{a^2 — 43 + 7}{a — 6}\). В числителе выполняем сложение: \(a^2 — 43 + 7 = a^2 — 36\). Теперь выражение выглядит как \(\frac{a^2 — 36}{a — 6}\). Числитель — это разность квадратов, которую можно разложить по формуле: \(a^2 — 36 = (a + 6)(a — 6)\). Подставляем это в дробь: \(\frac{(a + 6)(a — 6)}{a — 6}\). Поскольку \(a — 6 \neq 0\), сокращаем на \(a — 6\) и получаем \(a + 6\).

Подставляя значение \(a = 10{,}25\), вычисляем результат: \(10{,}25 + 6 = 16{,}25\). Таким образом, исходное выражение при данном значении переменной равно \(16{,}25\).

б) В выражении \(\frac{9b — 1}{b^2 — 9} — \frac{6b — 10}{b^2 — 9}\) знаменатели одинаковые, поэтому вычитаем числители: \(9b — 1 — (6b — 10) = 9b — 1 — 6b + 10 = 3b + 9\). Получаем дробь \(\frac{3b + 9}{b^2 — 9}\). Знаменатель можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов: \(b^2 — 9 = (b — 3)(b + 3)\). В числителе выносим общий множитель 3: \(3b + 9 = 3(b + 3)\). Тогда дробь принимает вид \(\frac{3(b + 3)}{(b — 3)(b + 3)}\).

Сокращаем на \(b + 3\), так как \(b \neq -3\), и получаем \(\frac{3}{b — 3}\). Подставляем \(b = 3{,}5\) и вычисляем: \(\frac{3}{3{,}5 — 3} = \frac{3}{0{,}5} = 6\). Это значение соответствует результату исходного выражения при заданном значении переменной.