ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 610 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Даны квадратные трёхчлены
\(x^2 — 6x + 11\) и \(-x^2 + 6x — 11\).
Докажите, что первый из них не принимает отрицательных значений, а второй — положительных.

\(x^2 — 6x + 11 = x^2 — 2 \cdot 3x + 3^2 — 3^2 + 11 = \)
\(= (x^2 — 6x + 9) — 9 + 11 = (x — 3)^2 + 2 > 0 \Rightarrow\) данный трёхчлен принимает положительные значения при любом значении \(x\).
\(-x^2 + 6x — 11 = -(x^2 — 6x + 11) = -(x^2 — 6x + 9 + 2) = \)
\(= -(x — 3)^2 — 2 < 0 \Rightarrow\) данный трёхчлен принимает отрицательные значения при любом значении \(x\). Что и требовалось доказать.

\(x^2 — 6x + 11 = x^2 — 2 \cdot 3x + 3^2 — 3^2 + 11 = \)
В этом выражении мы выделяем полный квадрат. Для этого к \(x^2 — 6x\) добавляем и вычитаем \(3^2\), то есть \(9\), чтобы получить полный квадрат:
\(= (x^2 — 6x + 9) — 9 + 11 = (x — 3)^2 + 2\).
Так как квадрат любого числа неотрицателен, выражение \((x — 3)^2 \geq 0\), а значит \((x — 3)^2 + 2 > 0\) для всех \(x\). Это доказывает, что исходный трёхчлен принимает положительные значения при любом значении \(x\).

\(-x^2 + 6x — 11 = -(x^2 — 6x + 11) = -(x^2 — 6x + 9 + 2) = \)
Здесь мы используем уже выделенный полный квадрат из предыдущего шага, но с минусом перед скобками:
\(= -(x — 3)^2 — 2\).
Поскольку \((x — 3)^2 \geq 0\), то \(-(x — 3)^2 \leq 0\), а значит сумма \(-(x — 3)^2 — 2 < 0\) для всех \(x\). Это показывает, что данный трёхчлен принимает отрицательные значения при любом \(x\). Таким образом, мы преобразовали оба трёхчлена к форме, в которой легко определить знак выражения, используя свойства квадрата. В первом случае сумма положительна, во втором — отрицательна для всех значений \(x\), что и требовалось доказать.