ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 611 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При каком значении \(x\) трёхчлен \(2x^2 — 4x + 6\) принимает наименьшее значение? Найдите это значение.

\(2x^2 — 4x + 6 = 2(x^2 — 2x + 3) = 2(x^2 — 2x + 1 + 2) =\)
\(= 2(x — 1)^2 + 4.\)
Данный трехчлен принимает наименьшее значение при \(2(x — 1)^2 = 0:\)
\(x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1.\)
Наименьшее значение равно 4.
Ответ: при \(x = 1\) наименьшее значение равно 4.

\(2x^2 — 4x + 6 = 2(x^2 — 2x + 3) =\)
В данном выражении мы сначала вынесем общий множитель 2 за скобки, чтобы упростить работу с квадратным трехчленом. Это позволит легче преобразовать выражение и найти его минимум. Внутри скобок у нас остается выражение \(x^2 — 2x + 3\), с которым мы будем работать дальше.

\(= 2(x^2 — 2x + 1 + 2) =\)
Следующий шаг — выделить полный квадрат внутри скобок. Для этого к выражению \(x^2 — 2x\) добавляем и вычитаем 1, чтобы получить квадрат бинома: \(x^2 — 2x + 1\) — это \((x — 1)^2\). Остаток \(+2\) оставляем вне квадратного выражения. Таким образом, выражение в скобках переписывается как сумма квадрата и числа 2.

\(= 2(x — 1)^2 + 4.\)
Теперь раскрываем скобки, умножая каждое слагаемое на 2. Получаем выражение, где квадратный член умножен на 2, а свободный член — 4. Это важный момент, так как теперь видно, что выражение представляет собой параболу с ветвями вверх, смещенную вверх на 4 единицы. Минимальное значение параболы достигается при нулевом значении квадрата.

Данный трехчлен принимает наименьшее значение при \(2(x — 1)^2 = 0:\)
Чтобы найти точку минимума, приравниваем квадратный член к нулю, так как квадрат любого числа неотрицателен, и минимальное значение достигается только при нуле. Умножение на 2 не влияет на положение минимума, так как это положительный множитель.

\(x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1.\)
Решаем уравнение для переменной \(x\), получая \(x = 1\). Это точка, в которой функция достигает своего минимального значения. Значение функции в этой точке будет равно свободному члену после выделения квадрата, то есть 4.

Наименьшее значение равно 4.
Подставляя \(x = 1\) обратно в выражение, убеждаемся, что квадратный член равен нулю, и вся функция принимает значение \(2 \cdot 0 + 4 = 4\). Это и есть минимальное значение рассматриваемого трехчлена.

Ответ: при \(x = 1\) наименьшее значение равно 4.