ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 612 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Дан квадратный трёхчлен \(-x^2 + 2x + 4\). Выясните, при каком значении \(x\) он принимает наименьшее значение и чему равно это значение трёхчлена.

\( \frac{1}{3} x^2 + 2x + 4 = \frac{1}{3} \left(x^2 + 6x + 12\right) = \frac{1}{3} \left(x^2 + 6x + 9 + 3\right) = \)
\( = \frac{1}{3} (x + 3)^2 + 1. \)

Данный трехчлен принимает наименьшее значение при \( \frac{1}{3} (x + 3)^2 = 0: \)
\( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3. \)

Наименьшее значение равно 1.
Ответ: при \( x = -3 \) наименьшее значение равна 1.

\( \frac{1}{3} x^2 + 2x + 4 = \frac{1}{3} \left(x^2 + 6x + 12\right) \)
В этом выражении мы вынесли общий множитель \( \frac{1}{3} \) из первых трёх членов, чтобы упростить задачу. Это позволяет рассмотреть квадратный трёхчлен внутри скобок, что удобнее для дальнейшего преобразования и нахождения минимума функции.

\( = \frac{1}{3} \left(x^2 + 6x + 9 + 3\right) = \)
\( = \frac{1}{3} (x + 3)^2 + 1. \)
Здесь мы дополнили выражение до полного квадрата: \( x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \). Добавляя и вычитая 9, мы сохранили равенство, а оставшийся член 3 вынесли за скобки и разделили на 3, получив 1. Теперь функция записана в виде суммы квадрата и константы, что упрощает определение её минимального значения.

Данный трёхчлен принимает наименьшее значение при \( \frac{1}{3} (x + 3)^2 = 0: \)
\( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3. \)
Так как квадрат любого числа неотрицателен, минимальное значение достигается тогда, когда квадрат равен нулю. Это происходит при \( x = -3 \), при котором выражение \( (x + 3)^2 \) становится нулём.

Наименьшее значение равно 1.
Подставляя \( x = -3 \) обратно в выражение, получаем минимальное значение функции:
\( \frac{1}{3} \cdot 0 + 1 = 1. \)
Таким образом, минимальное значение функции равно 1, и достигается оно при \( x = -3 \).