Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 613 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
(Задача-исследование.) Выясните, какой из прямоугольных треугольников с суммой катетов, равной 6 см, имеет наибольшую площадь. Вычислите эту площадь.
1) Обозначьте длину одного из катетов через \( x \) см и составьте выражение для вычисления площади треугольника.
2) Исследуйте, при каких значениях переменной составленное выражение принимает наибольшее значение.
3) Вычислите, чему равно значение площади треугольника при указанных значениях переменной.
Пусть длина одного катета равна \( x \) см, тогда длина другого катета равна \( (6 — x) \) см.
Площадь треугольника равна \( \frac{1}{2} x (6 — x) \) см\(^2\).
Тогда:
\( \frac{1}{2} x (6 — x) = 3x — \frac{1}{2} x^2 = — \frac{1}{2} (x^2 — 6x) = — \frac{1}{2} (x^2 — 6x + 9 — 9) = \)
\( = — \frac{1}{2} (x — 3)^2 + \frac{1}{2} \cdot 9 = — \frac{1}{2} (x — 3)^2 + 4,5. \)
Треугольник имеет наибольшую площадь, если \( (x — 3) = 0 \).
Таким образом, при \( x = 3 \) треугольник имеет площадь, равную 4,5 см\(^2\). При этом второй катет так же равен 3 см.
Ответ: равнобедренный треугольник с катетами 3 см имеет наибольшую площадь, равную 4,5 см\(^2\).
Пусть длина одного катета равна \( x \) см, тогда длина другого катета равна \( (6 — x) \) см. Это следует из того, что сумма двух катетов должна быть равна 6 см, поэтому, если один катет \( x \), то другой будет \( 6 — x \). Такое обозначение позволяет выразить площадь треугольника через одну переменную, что упрощает дальнейшие вычисления.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, то есть \( \frac{1}{2} x (6 — x) \) см\(^2\). Раскроем скобки и упростим выражение:
\( \frac{1}{2} x (6 — x) = \frac{1}{2} (6x — x^2) = 3x — \frac{1}{2} x^2 \).
Таким образом, площадь выражается как квадратичная функция от переменной \( x \).
Для нахождения максимума площади рассмотрим функцию \( S(x) = 3x — \frac{1}{2} x^2 \). Перепишем её в виде:
\( S(x) = — \frac{1}{2} x^2 + 3x = — \frac{1}{2} (x^2 — 6x) \).
Чтобы упростить анализ, выделим полный квадрат:
\( x^2 — 6x = (x^2 — 6x + 9) — 9 = (x — 3)^2 — 9 \).
Подставим обратно:
\( S(x) = — \frac{1}{2} ((x — 3)^2 — 9) = — \frac{1}{2} (x — 3)^2 + \frac{9}{2} = — \frac{1}{2} (x — 3)^2 + 4,5 \).
Поскольку \( — \frac{1}{2} (x — 3)^2 \leq 0 \) для всех \( x \), максимум функции достигается при \( (x — 3)^2 = 0 \), то есть при \( x = 3 \). В этот момент площадь равна \( S(3) = 4,5 \) см\(^2\), что и есть максимальное значение площади треугольника.
При \( x = 3 \) второй катет равен \( 6 — 3 = 3 \) см, значит треугольник является равнобедренным с катетами по 3 см. Это соответствует максимальной площади, которую может иметь треугольник с суммой катетов 6 см.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!