ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 614 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

С башни выпустили вверх стрелу из лука. Если начальная скорость стрелы равна 50 м/с, высота башни 20 м и \( t \) (с) — время полёта стрелы, то расстояние \( h \) (м) стрелы от поверхности земли в момент времени \( t \) (с) можно найти по формуле \( h = -5t^2 + 50t + 20 \) (приближённое значение ускорения свободного падения считается равным 10 м/с²). Какой наибольшей высоты достигнет стрела?

\( h = -5t^2 + 50t + 20. \)
\(-5t^2 + 50t + 20 = -5 \left( t^2 — 10t — 4 \right) = \)
\( = -5 \left( t^2 — 10t + 25 — 25 — 4 \right) = -5 \left( (t — 5)^2 — 29 \right) = \)
\( = -5 (t — 5)^2 + 145. \)
Таким образом, 145 м – наибольшая высота, которую достигнет стрела (при \( t = 5 \) с).
Ответ: 145 м.

\( h = -5t^2 + 50t + 20. \)
Это уравнение описывает высоту стрелы \( h \) в метрах в зависимости от времени \( t \) в секундах. Коэффициент при \( t^2 \) отрицательный, что указывает на параболическую траекторию с максимумом, то есть стрела сначала поднимается, достигает максимума, а затем начинает падать. Чтобы найти максимальную высоту, нужно привести квадратный трехчлен к каноническому виду, выделив полный квадрат.

\(-5t^2 + 50t + 20 = -5 \left( t^2 — 10t — 4 \right) = \)
Вынесли множитель \(-5\) за скобки, чтобы упростить выражение внутри. Теперь внутри скобок у нас квадратный трехчлен \( t^2 — 10t — 4 \), который мы преобразуем, выделяя полный квадрат. Это стандартный метод для поиска вершины параболы.

\( = -5 \left( t^2 — 10t + 25 — 25 — 4 \right) = -5 \left( (t — 5)^2 — 29 \right) = \)
Добавили и вычли \( 25 \) внутри скобок, так как \( (t — 5)^2 = t^2 — 10t + 25 \). Это позволяет переписать выражение в виде квадрата разности и константы. После этого раскрываем скобки, учитывая знак \(-5\).

\( = -5 (t — 5)^2 + 145. \)
Здесь \( -5 \cdot (-29) = +145 \). Теперь уравнение высоты записано в виде \( h = -5 (t — 5)^2 + 145 \), где максимальная высота достигается при \( (t — 5)^2 = 0 \), то есть при \( t = 5 \) секундах. Максимальное значение высоты равно \( 145 \) метрам.

Таким образом, максимальная высота стрелы — это вершина параболы, которая находится в точке \( t = 5 \). Подставляя это значение в исходное уравнение, убеждаемся, что высота действительно равна \( 145 \) метрам. Значит, стрела поднимается до \( 145 \) метров, а затем начинает снижаться.

Ответ: \( 145 \) м.