ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 615 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:
а) \( 3 (x + 4)^2 = 10x + 32 \);
б) \( 31x + 77 = 15 (x + 1)^2 \).

\( а) \quad 3(x+4)^2 = 10x + 32 \)
\( 3(x^2 + 8x + 16) = 10x + 32 \)
\( 3x^2 + 24x + 48 — 10x — 32 = 0 \)
\( 3x^2 + 14x + 16 = 0. \)
\( D = 196 — 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 — 192 = 4 = 2^2. \)
\( x_1 = \frac{-14 — 2}{2 \cdot 3} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3} = -2 \frac{2}{3}; \)
\( x_2 = \frac{-14 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2. \)
Ответ: \( x = -2 \frac{2}{3} \) и \( x = -2. \)

\( б) \quad 31x + 77 = 15(x+1)^2 \)
\( 31x + 77 = 15(x^2 + 2x + 1) \)
\( 31x + 77 = 15x^2 + 30x + 15 \)
\( 15x^2 + 30x + 15 — 31x — 77 = 0 \)
\( 15x^2 — x — 62 = 0. \)
\( D = 1 + 4 \cdot 15 \cdot 62 = 3721 = 61^2. \)
\( x_1 = \frac{1 — 61}{2 \cdot 15} = \frac{-60}{30} = -2; \)
\( x_2 = \frac{1 + 61}{2 \cdot 15} = \frac{62}{30} = \frac{31}{15} = 2 \frac{1}{15}. \)
Ответ: \( x = -2 \) и \( x = 2 \frac{1}{15}. \)

а) \( 3(x+4)^2 = 10x + 32 \)
Сначала раскрываем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата суммы: \( (x+4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16 \). Подставляем это выражение обратно:
\( 3(x^2 + 8x + 16) = 10x + 32 \).
Раскрываем скобки:
\( 3x^2 + 24x + 48 = 10x + 32 \).

Переносим все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
\( 3x^2 + 24x + 48 — 10x — 32 = 0 \),
что упрощается до
\( 3x^2 + 14x + 16 = 0 \).

Для решения квадратного уравнения используем дискриминант:
\( D = b^2 — 4ac = 14^2 — 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 — 192 = 4 \).
Корень дискриминанта равен \( \sqrt{4} = 2 \).
Находим корни по формуле:
\( x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 — 2}{2 \cdot 3} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3} = -2 \frac{2}{3} \),
\( x_2 = \frac{-14 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2 \).

б) \( 31x + 77 = 15(x+1)^2 \)
Раскрываем квадрат в правой части уравнения:
\( (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \),
подставляем:
\( 31x + 77 = 15(x^2 + 2x + 1) \).
Раскрываем скобки справа:
\( 31x + 77 = 15x^2 + 30x + 15 \).

Переносим все члены в левую часть:
\( 31x + 77 — 15x^2 — 30x — 15 = 0 \),
упрощаем:
\( -15x^2 + (31x — 30x) + (77 — 15) = 0 \),
\( -15x^2 + x + 62 = 0 \).
Умножаем на \(-1\) для удобства:
\( 15x^2 — x — 62 = 0 \).

Находим дискриминант:
\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 15 \cdot (-62) = 1 + 3720 = 3721 \).
Корень дискриминанта:
\( \sqrt{3721} = 61 \).
Находим корни:
\( x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 — 61}{2 \cdot 15} = \frac{-60}{30} = -2 \),
\( x_2 = \frac{1 + 61}{2 \cdot 15} = \frac{62}{30} = \frac{31}{15} = 2 \frac{1}{15} \).