ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 616 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители многочлен:
а) \( ab + 3b — 5a — 15 \);
б) \( 2xy — y + 8x — 4 \)

\(a) \quad ab + 3b — 5a — 15 = b(a + 3) — 5(a + 3) = (a + 3)(b — 5);\)
\(б) \quad 2xy — y + 8x — 4 = y(2x — 1) + 4(2x — 1) = (2x — 1)(y + 4).\)

а) Сначала рассмотрим выражение \( ab + 3b — 5a — 15 \). Чтобы упростить его, сгруппируем слагаемые по общим множителям: выделим \( b \) из первых двух слагаемых и \(-5\) из следующих двух. Получим: \( ab + 3b = b(a + 3) \) и \(-5a — 15 = -5(a + 3) \). Таким образом, исходное выражение перепишется как сумма двух произведений: \( b(a + 3) — 5(a + 3) \).

Далее заметим, что в обеих частях выражения есть общий множитель \( (a + 3) \). Вынесем его за скобки: \( b(a + 3) — 5(a + 3) = (a + 3)(b — 5) \). Это и есть разложение исходного многочлена на множители. Такой способ называется группировкой, когда выделяют общие множители по частям выражения, а затем выносят общий множитель за скобки.

б) Рассмотрим выражение \( 2xy — y + 8x — 4 \). Аналогично предыдущему примеру сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить общий множитель: первые два слагаемых \( 2xy — y \) можно записать как \( y(2x — 1) \), поскольку \( y \) общий множитель. Последние два слагаемых \( 8x — 4 \) выделим с помощью множителя 4: \( 4(2x — 1) \).

Теперь видно, что в обеих группах есть общий множитель \( (2x — 1) \). Вынесем его за скобки: \( y(2x — 1) + 4(2x — 1) = (2x — 1)(y + 4) \). Таким образом, исходное выражение разложено на произведение двух множителей с помощью группировки и вынесения общего множителя.

В обоих случаях метод группировки позволяет упростить выражение, выделив сначала общие множители в частях, а затем вынеся общий множитель за скобки, что приводит к разложению многочленов на множители. Это важный приём в алгебре для упрощения и решения уравнений.