ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 618 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители квадратный трёхчлен:
а) \(2x^2 — 2x + \frac{1}{2}\);
в) \(16a^2 + 24a + 9\);
б) \(-9x^2 + 12x — 4\);
г) \(0,25m^2 — 2m + 4\).

а) \(2x^{2} — 2x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (4x^{2} — 4x + 1) = \frac{1}{2} (2x — 1)^{2};\)
\(2x^{2} — 2x + \frac{1}{2} = 2 \left(x^{2} — x + \frac{1}{4}\right) = 2 \left(x — \frac{1}{2}\right)^{2};\)

б) \(-9x^{2} + 12x — 4 = — (9x^{2} — 12x + 4) = -(3x — 2)^{2};\)

в) \(16a^{2} + 24a + 9 = (4a + 3)^{2};\)

г) \(0{,}25m^{2} — 2m + 4 = (0{,}5m — 2)^{2}.\)

а) Начинаем с выражения \(2x^{2} — 2x + \frac{1}{2}\). Чтобы привести его к виду полного квадрата, сначала выделим общий множитель \( \frac{1}{2} \), так как последний член дробный. Перепишем:
\(2x^{2} — 2x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (4x^{2} — 4x + 1)\).

Теперь внутри скобок у нас квадратный трехчлен \(4x^{2} — 4x + 1\), который можно представить как квадрат бинома. Проверим:
\((2x — 1)^{2} = 4x^{2} — 4x + 1\). Значит,
\(2x^{2} — 2x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (2x — 1)^{2}\).

Аналогично, если вынести множитель 2, то:
\(2x^{2} — 2x + \frac{1}{2} = 2 \left(x^{2} — x + \frac{1}{4}\right)\).
Внутри скобок выражение можно записать как квадрат:
\(\left(x — \frac{1}{2}\right)^{2} = x^{2} — x + \frac{1}{4}\).
Таким образом,
\(2x^{2} — 2x + \frac{1}{2} = 2 \left(x — \frac{1}{2}\right)^{2}\).

б) Рассмотрим выражение \(-9x^{2} + 12x — 4\). Чтобы представить его в виде квадрата, сначала вынесем минус:
\(-9x^{2} + 12x — 4 = — (9x^{2} — 12x + 4)\).

Теперь внутри скобок квадратный трехчлен \(9x^{2} — 12x + 4\), который можно проверить на полный квадрат:
\((3x — 2)^{2} = 9x^{2} — 12x + 4\).
Следовательно,
\(-9x^{2} + 12x — 4 = — (3x — 2)^{2}\).

в) В выражении \(16a^{2} + 24a + 9\) заметим, что оно напоминает квадрат бинома. Проверим:
\((4a + 3)^{2} = 16a^{2} + 24a + 9\).
Значит, исходное выражение уже является полным квадратом:
\(16a^{2} + 24a + 9 = (4a + 3)^{2}\).

г) Рассмотрим \(0{,}25m^{2} — 2m + 4\). Перепишем \(0{,}25\) как \(\left(0{,}5\right)^{2}\), тогда:
\(0{,}25m^{2} — 2m + 4 = (0{,}5m)^{2} — 2m + 4\).

Теперь попробуем представить это выражение в виде квадрата бинома \( (0{,}5m — 2)^{2} \):
\((0{,}5m — 2)^{2} = (0{,}5m)^{2} — 2 \cdot 0{,}5m \cdot 2 + 2^{2} = 0{,}25m^{2} — 2m + 4\).
Это совпадает с исходным выражением, значит:
\(0{,}25m^{2} — 2m + 4 = (0{,}5m — 2)^{2}\).