Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 619 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Разложите на множители квадратный трёхчлен:
а) \(2x^2 + 12x — 14\);
в) \(3x^2 + 5x — 2\);
б) \(-m^2 + 5m — 6\);
г) \(6x^2 — 13x + 6\).
а) \(2x^2 + 12x — 14 = 2(x^2 + 6x — 7) = 2(x^2 + 7x — x — 7) =\)
\(= 2(x(x + 7) — (x + 7)) = 2(x + 7)(x — 1);\)
б) \(-m^2 + 5m — 6 = -(m^2 — 5m + 6) = -(m^2 — 3m — 2m + 6) =\)
\(= -(m(m — 3) — 2(m — 3)) = -(m — 3)(m — 2) = (3 — m)(m — 2);\)
в) \(3x^2 + 5x — 2 = 3\left(x^2 + \frac{5}{3}x — \frac{2}{3}\right) = 3\left(x — \frac{1}{3}\right)(x + 2) =\)
\(= (3x — 1)(x + 2);\)
\(3x^2 + 5x — 2 = 0.\)
\(D = 25 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 + 24 = 49 = 7^2.\)
\(x_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2; \quad x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.\)
г) \(6x^2 — 13x + 6 = 6\left(x^2 — \frac{13}{6}x + 1\right) = 6\left(x — \frac{2}{3}\right)\left(x — \frac{3}{2}\right) =\)
\(= (3x — 2)(2x — 3);\)
\(6x^2 — 13x + 6 = 0.\)
\(D = 169 — 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 — 144 = 25 = 5^2.\)
\(x_1 = \frac{13 — 5}{2 \cdot 6} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}; \quad x_2 = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}.\)
а) \(2x^2 + 12x — 14 = 2(x^2 + 6x — 7)\) — сначала вынесем общий множитель 2 за скобки, чтобы упростить выражение. Далее преобразуем выражение внутри скобок: \(x^2 + 6x — 7\) перепишем как \(x^2 + 7x — x — 7\), то есть разбиваем средний член на сумму двух слагаемых \(7x\) и \(-x\). Это делается для удобства группировки.
Теперь сгруппируем слагаемые: \(x(x + 7) — (x + 7)\). Здесь мы видим общий множитель \((x + 7)\), который можно вынести за скобки, получая \(2(x + 7)(x — 1)\). Таким образом, многочлен разложен на произведение трех множителей: \(2\), \((x + 7)\), \((x — 1)\), что является факторизацией исходного выражения.
б) \(-m^2 + 5m — 6 = -(m^2 — 5m + 6)\) — для удобства вынесем минус за скобки, изменив знаки внутри. Далее раскроем скобки в выражении \(m^2 — 5m + 6\) как \(m^2 — 3m — 2m + 6\), чтобы сгруппировать по частям.
Группируем: \(m(m — 3) — 2(m — 3)\). Здесь общий множитель \((m — 3)\), который выносим за скобки, получая \(-(m — 3)(m — 2)\). Далее, меняем порядок множителей: \((3 — m)(m — 2)\), что эквивалентно исходному выражению, но с удобной формой разложения.
в) \(3x^2 + 5x — 2 = 3\left(x^2 + \frac{5}{3}x — \frac{2}{3}\right)\) — выделяем общий множитель 3, чтобы работать с квадратным трехчленом внутри скобок. Для разложения квадратного трехчлена найдем корни уравнения \(3x^2 + 5x — 2 = 0\).
Вычисляем дискриминант: \(D = 5^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2\). Корни находятся по формуле: \(x_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 3} = -2\), \(x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3}\).
Таким образом, факторизация: \(3\left(x — \frac{1}{3}\right)(x + 2) = (3x — 1)(x + 2)\). Это разложение на линейные множители, что упрощает работу с многочленом.
г) \(6x^2 — 13x + 6 = 6\left(x^2 — \frac{13}{6}x + 1\right)\) — выделяем общий множитель 6, чтобы упростить коэффициенты в квадратном трехчлене. Для нахождения корней решаем уравнение \(6x^2 — 13x + 6 = 0\).
Вычисляем дискриминант: \(D = (-13)^2 — 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 — 144 = 25 = 5^2\). Корни по формуле: \(x_1 = \frac{13 — 5}{2 \cdot 6} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\), \(x_2 = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}\).
Факторизация: \(6\left(x — \frac{2}{3}\right)\left(x — \frac{3}{2}\right) = (3x — 2)(2x — 3)\). Таким образом, исходное выражение разложено на произведение двух двучленов, что значительно упрощает дальнейшие вычисления.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!