ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 620 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите тождество:
а) \(10x^2 + 19x — 2 = 10(x — 0,1)(x + 2)\);
б) \(0,5(x — 6)(x — 5) = 0,5x^2 — 5,5x + 15\).

а) Доказать, что:
\(10x^2 + 19x — 2 = 10(x — 0,1)(x + 2).\)
Найдём корни квадратного уравнения:
\(10x^2 + 19x — 2 = 0.\)
\(D = 361 + 4 \cdot 10 \cdot 2 = 361 + 80 = 441 = 21^2.\)
\(x_1 = \frac{-19 — 21}{2 \cdot 10} = \frac{-40}{20} = -2;\quad x_2 = \frac{-19 + 21}{2 \cdot 10} = \frac{2}{20} = 0,1.\)
Таким образом:
\(10x^2 + 19x — 2 = 10(x — 0,1)(x + 2) \Rightarrow\) верно.
Что и требовалось доказать.

б) Доказать, что:
\(0,5(x — 6)(x — 5) = 0,5x^2 — 5,5x + 15.\)
Найдём корни квадратного уравнения:
\(0,5x^2 — 5,5x + 15 = 0 \quad | \cdot 2\)
\(x^2 — 11x + 30 = 0.\)
\(x_1 + x_2 = 11; \quad x_1 x_2 = 30.\)
\(x_1 = 5, \quad x_2 = 6.\)
Таким образом:
\(0,5(x — 6)(x — 5) = 0,5x^2 — 5,5x + 15 \Rightarrow\) верно.
Что и требовалось доказать.

а) Доказать, что:
\(10x^2 + 19x — 2 = 10(x — 0,1)(x + 2).\)
Для начала необходимо проверить, действительно ли правая часть равна левой. Для этого найдём корни квадратного уравнения, соответствующего левой части:
\(10x^2 + 19x — 2 = 0.\)
Вспомним, что корни квадратного уравнения находятся по формуле:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a},\)
где \(D = b^2 — 4ac\) — дискриминант, а \(a=10,\ b=19,\ c=-2.\)
Вычислим дискриминант:
\(D = 19^2 — 4 \cdot 10 \cdot (-2) = 361 + 80 = 441.\)
Поскольку \(441 = 21^2,\) корни будут:
\(x_1 = \frac{-19 — 21}{2 \cdot 10} = \frac{-40}{20} = -2,\)
\(x_2 = \frac{-19 + 21}{2 \cdot 10} = \frac{2}{20} = 0,1.\)

Теперь проверим, совпадают ли корни с теми, что указаны в правой части уравнения. В правой части у нас произведение двух множителей:
\(10(x — 0,1)(x + 2).\)
Корни этого выражения — это значения \(x\), при которых каждый из множителей равен нулю, то есть \(x = 0,1\) и \(x = -2.\) Они совпадают с найденными корнями. Значит, правая часть действительно является разложением левой части на множители. Следовательно, равенство
\(10x^2 + 19x — 2 = 10(x — 0,1)(x + 2)\)
верно.

б) Доказать, что:
\(0,5(x — 6)(x — 5) = 0,5x^2 — 5,5x + 15.\)
Для доказательства этого равенства найдём корни квадратного уравнения, соответствующего правой части:
\(0,5x^2 — 5,5x + 15 = 0.\)
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичных коэффициентов:
\(x^2 — 11x + 30 = 0.\)
Сумма корней равна \(x_1 + x_2 = 11,\) а произведение корней равно \(x_1 x_2 = 30.\)
Подберём такие числа, которые при сложении дают 11, а при умножении 30. Это числа 5 и 6:
\(x_1 = 5,\quad x_2 = 6.\)

Теперь рассмотрим левую часть выражения:
\(0,5(x — 6)(x — 5).\)
Раскроем скобки:
\(0,5(x^2 — 5x — 6x + 30) = 0,5x^2 — 0,5 \cdot 11x + 0,5 \cdot 30 = 0,5x^2 — 5,5x + 15.\)
Таким образом, левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Следовательно, равенство
\(0,5(x — 6)(x — 5) = 0,5x^2 — 5,5x + 15\)
верно.