ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 621 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Можно ли представить квадратный трёхчлен в виде произведения многочленов первой степени:
а) \(-3y^2 + 3y + 11\);
в) \(x^2 — 7x + 11\);
б) \(4b^2 — 9b + 7\);
г) \(3y^2 — 12y + 12\)?

а) \(-3y^2 + 3y + 11 = 0 \quad | \cdot (-1)\)
\(3y^2 — 3y — 11 = 0.\)
\(D = 9 + 4 \cdot 3 \cdot 11 = 9 + 132 = 141 > 0.\)
Таким образом, данный квадратный трёхчлен можно
представить в виде произведения многочленов
первой степени.

б) \(4b^2 — 9b + 7 = 0.\)
\(D = 81 — 4 \cdot 4 \cdot 7 = 81 — 112 = -31 < 0.\) Значит, данный квадратный трёхчлен нельзя представить в виде произведения многочленов первой степени.

в) \(x^2 — 7x + 11 = 0.\) \(D = 49 — 4 \cdot 11 = 49 — 44 = 5 > 0.\)
Тогда, данный квадратный трёхчлен можно представить
в виде произведения многочленов первой степени.

г) \(3y^2 — 12y + 12 = 0 \quad | : 3\)
\(y^2 — 4y + 4 = 0.\)
\(D = 16 — 4 \cdot 4 = 0.\)
Значит, данный квадратный трёхчлен можно представить
в виде произведения многочленов первой степени.

а) \(-3y^2 + 3y + 11 = 0 \quad | \cdot (-1)\)
\(3y^2 — 3y — 11 = 0.\)
Для того чтобы определить, можно ли представить квадратный трёхчлен в виде произведения двух многочленов первой степени, необходимо вычислить дискриминант \(D\). Он определяется по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a, b, c\) — коэффициенты при \(y^2, y\) и свободный член соответственно. В нашем случае \(a=3\), \(b=-3\), \(c=-11\).

Вычисляем дискриминант:
\(D = (-3)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-11) = 9 + 132 = 141.\)
Так как \(D > 0\), это означает, что у уравнения есть два различных вещественных корня, а значит, квадратный трёхчлен можно разложить на произведение двух линейных множителей. Таким образом, исходный трёхчлен можно представить в виде произведения многочленов первой степени.

б) \(4b^2 — 9b + 7 = 0.\)
Определим дискриминант:
\(D = (-9)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 7 = 81 — 112 = -31.\)
Значение дискриминанта отрицательное, то есть \(D < 0\). Это означает, что у уравнения нет вещественных корней, следовательно, его нельзя разложить на произведение многочленов первой степени с вещественными коэффициентами. Поэтому данный квадратный трёхчлен нельзя представить в виде произведения многочленов первой степени.

в) \(x^2 — 7x + 11 = 0.\) Вычислим дискриминант: \(D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 11 = 49 — 44 = 5.\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных вещественных корня. Это значит, что трёхчлен можно разложить на произведение двух линейных множителей. Следовательно, данный квадратный трёхчлен можно представить в виде произведения многочленов первой степени.

г) \(3y^2 — 12y + 12 = 0 \quad | : 3\)
\(y^2 — 4y + 4 = 0.\)
Вычислим дискриминант:
\(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 — 16 = 0.\)
Дискриминант равен нулю, это означает, что у уравнения один корень, но кратный. Таким образом, квадратный трёхчлен можно представить в виде квадрата линейного многочлена, то есть в виде произведения многочленов первой степени (один и тот же множитель повторяется дважды). Следовательно, данный трёхчлен можно разложить на произведение многочленов первой степени.