ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 623 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Покажите, что существует квадратный трёхчлен, имеющий корни, коэффициенты которого — натуральные числа вида \(n\), \(2n\), \(3n\) (расположенные в произвольном порядке). Разложите этот трёхчлен на множители.

1) Если \(a=n, b=2n, c=3n:\)
\(nx^2 + 2nx + 3n = 0 \mid : n\)
\(x^2 + 2x + 3 = 0.\)
\(D = 4 — 4 \cdot 3 < 0 \Rightarrow\) корней нет. Нельзя разложить на множители.

2) Если \(a=n, b=3n, c=2n:\) \(nx^2 + 3nx + 2n = 0 \mid : n\) \(x^2 + 3x + 2 = 0.\) \(D = 9 — 4 \cdot 2 = 1 > 0 \Rightarrow\) два корня.
\(x_1 = \frac{-3 — 1}{2} = -2; \quad x_2 = \frac{-3 + 1}{2} = -1.\)
Таким образом:
\(nx^2 + 3nx + 2n = n(x + 2)(x + 1).\)

3) Если \(a=2n, b=n, c=3n:\)
\(2nx^2 + nx + 3n = 0 \mid : n\)
\(2x^2 + x + 3 = 0.\)
\(D = 1 — 4 \cdot 2 \cdot 3 < 0 \Rightarrow\) корней нет. Нельзя разложить на множители.

4) Если \(a=2n, b=3n, c=n:\) \(2nx^2 + 3nx + n = 0 \mid : n\) \(2x^2 + 3x + 1 = 0.\) \(D = 9 — 4 \cdot 2 = 1 > 0 \Rightarrow\) два корня.
\(x_1 = \frac{-3 — 1}{2 \cdot 2} = -1; \quad x_2 = \frac{-3 + 1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2} = -0,5.\)
Таким образом:
\(2nx^2 + 3nx + n = n(x + 1)(x + 0,5).\)

5) Если \(a=3n, b=n, c=2n:\)
\(3nx^2 + nx + 2n = 0 \mid : n\)
\(3x^2 + x + 2 = 0.\)
\(D = 1 — 4 \cdot 3 \cdot 2 < 0 \Rightarrow\) корней нет.
Нельзя разложить на множители.

6) Если \(a=3n, b=2n, c=n:\)
\(3nx^2 + 2nx + n = 0 \mid : n\)
\(3x^2 + 2x + 1 = 0.\)
\(D = 4 — 4 \cdot 3 \cdot 1 < 0 \Rightarrow\) корней нет.
Нельзя разложить на множители.

Ответ: \(x^2 + 3x + 2; \quad 2x^2 + 3x + 1.\)

1) Если \(a=n, b=2n, c=3n:\)
Начинаем с уравнения \(nx^2 + 2nx + 3n = 0\). Чтобы упростить уравнение, делим обе части на \(n\), так как \(n \neq 0\), получаем \(x^2 + 2x + 3 = 0\). Далее вычисляем дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a=1, b=2, c=3\). Получаем \(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 — 12 = -8 < 0\). Так как дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней, следовательно, разложить многочлен на множители с действительными коэффициентами нельзя. Это значит, что факторизация невозможна в данном случае. 2) Если \(a=n, b=3n, c=2n:\) Запишем уравнение: \(nx^2 + 3nx + 2n = 0\). Делим на \(n\), получаем \(x^2 + 3x + 2 = 0\). Вычисляем дискриминант: \(D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1 > 0\).

Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два действительных корня. Находим их по формуле:
\(x_1 = \frac{-3 — 1}{2} = -2\),
\(x_2 = \frac{-3 + 1}{2} = -1\).
Следовательно, многочлен раскладывается на множители: \(n(x + 2)(x + 1)\).

3) Если \(a=2n, b=n, c=3n:\)
Уравнение: \(2nx^2 + nx + 3n = 0\). Делим на \(n\), получаем \(2x^2 + x + 3 = 0\). Дискриминант: \(D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 — 24 = -23 < 0\). Отрицательный дискриминант означает отсутствие действительных корней, значит факторизация невозможна. Многочлен не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

4) Если \(a=2n, b=3n, c=n:\) Исходное уравнение: \(2nx^2 + 3nx + n = 0\). Делим на \(n\), получаем \(2x^2 + 3x + 1 = 0\). Вычисляем дискриминант: \(D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1 > 0\).

Положительный дискриминант указывает на два действительных корня:
\(x_1 = \frac{-3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1\),
\(x_2 = \frac{-3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0,5\).
Таким образом, многочлен раскладывается: \(n(x + 1)(x + 0,5)\).

5) Если \(a=3n, b=n, c=2n:\)
Уравнение: \(3nx^2 + nx + 2n = 0\). Делим на \(n\), получаем \(3x^2 + x + 2 = 0\). Дискриминант: \(D = 1^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 — 24 = -23 < 0\).

Отрицательный дискриминант свидетельствует об отсутствии действительных корней, значит факторизация невозможна с действительными числами.

6) Если \(a=3n, b=2n, c=n:\)
Уравнение: \(3nx^2 + 2nx + n = 0\). Делим на \(n\), получаем \(3x^2 + 2x + 1 = 0\). Дискриминант: \(D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 — 12 = -8 < 0\).

Отрицательный дискриминант означает, что действительных корней нет, и разложение на множители с действительными коэффициентами невозможно.

Итог: из всех рассмотренных случаев только при \(a=n, b=3n, c=2n\) и при \(a=2n, b=3n, c=n\) уравнения имеют два действительных корня и могут быть разложены на множители. В остальных случаях уравнения не имеют действительных корней и не разлагаются на множители.