Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 624 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Сократите дробь:
а) \(\frac{4x + 4}{3x^2 + 2x — 1}\);
б) \(\frac{2a^2 — 5a — 3}{3a — 9}\);
в) \(\frac{16 — b^2}{b^2 — b — 12}\);
г) \(\frac{2y^2 + 7y + 3}{y^2 — 9}\);
д) \(\frac{p^2 — 11p + 10}{20 + 8p — p^2}\);
е) \(\frac{3x^2 + 16x — 12}{10 — 13x — 3x^2}\).
а) \( \frac{4x+4}{3x^2+2x-1} = \frac{4(x+1)}{3(x+1)(x-\frac{1}{3})} = \frac{4}{3(x-\frac{1}{3})} = \frac{4}{3x-1} ; \)
\( 3x^2 + 2x — 1 = 0. \)
\( D = 4 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16 = 4^2. \)
\( x_1 = \frac{-2 — 4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1; \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. \)
б) \( \frac{2a^2 — 5a — 3}{3a — 9} = \frac{2(a+2)(a-3)}{3(a-3)} = \frac{2(a+2)}{3} = \frac{2a + 4}{3}; \)
\( 2a^2 — 5a — 3 = 0. \)
\( D = 25 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 + 24 = 49 = 7^2. \)
\( a_1 = \frac{5 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}; \quad a_2 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3. \)
в) \( \frac{16 — b^2}{b^2 — b — 12} = \frac{(4 — b)(4 + b)}{(b + 3)(b — 4)} = -\frac{(b — 4)(4 + b)}{(b + 3)(b — 4)} = -\frac{4 + b}{b + 3} = \frac{4 + b}{b + 3}; \)
\( b^2 — b — 12 = 0. \)
\( b_1 + b_2 = 1; \quad b_1 b_2 = -12; \)
\( b_1 = -3, \quad b_2 = 4. \)
г) \( \frac{2y^2 + 7y + 3}{y^2 — 9} = \frac{2(y + \frac{1}{2})(y + 3)}{(y — 3)(y + 3)} = \frac{2(y + \frac{1}{2})}{y — 3} = \frac{2y + 1}{y — 3}; \)
\( 2y^2 + 7y + 3 = 0. \)
\( D = 49 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 — 24 = 25 = 5^2. \)
\( y_1 = \frac{-7 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3; \quad y_2 = \frac{-7 + 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}. \)
д) \( \frac{p^2 — 11p + 10}{20 + 8p — p^2} = \frac{(p — 1)(p — 10)}{-(p + 2)(p — 10)} = -\frac{p — 1}{p + 2} = \frac{1 — p}{p + 2}; \)
\( p^2 — 11p + 10 = 0. \)
\( p_1 + p_2 = 11; \quad p_1 p_2 = 10; \)
\( p_1 = 1, \quad p_2 = 10. \)
\( 20 + 8p — p^2 = 0 \Rightarrow p^2 — 8p — 20 = 0. \)
\( p_1 + p_2 = 8; \quad p_1 p_2 = -20; \)
\( p_1 = -2, \quad p_2 = 10. \)
е) \( \frac{3x^2 + 16x — 12}{10 — 13x — 3x^2} = \frac{3(x + 6)(x — \frac{2}{3})}{-3(x + 5)(x — \frac{2}{3})} = -\frac{x + 6}{x + 5}; \)
\( 3x^2 + 16x — 12 = 0. \)
\( D = 256 + 4 \cdot 3 \cdot 12 = 256 + 144 = 400 = 20^2. \)
\( x_1 = \frac{-16 — 20}{2 \cdot 3} = \frac{-36}{6} = -6; \quad x_2 = \frac{-16 + 20}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. \)
\( 10 — 13x — 3x^2 = 0 \Rightarrow 3x^2 + 13x — 10 = 0. \)
\( D = 169 + 4 \cdot 3 \cdot 10 = 169 + 120 = 289 = 17^2. \)
\( x_1 = \frac{-13 — 17}{2 \cdot 3} = \frac{-30}{6} = -5; \quad x_2 = \frac{-13 + 17}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. \)
а) Для начала упростим выражение \( \frac{4x+4}{3x^2 + 2x — 1} \). В числителе вынесем общий множитель: \( 4x + 4 = 4(x + 1) \). В знаменателе разложим квадратный трехчлен на множители. Для этого решим уравнение \( 3x^2 + 2x — 1 = 0 \). Вычислим дискриминант: \( D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2 \). Корни уравнения найдём по формуле: \( x_1 = \frac{-2 — 4}{2 \cdot 3} = -1 \), \( x_2 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{1}{3} \). Значит, знаменатель раскладывается как \( 3(x + 1)(x — \frac{1}{3}) \).
Подставляя обратно, получаем \( \frac{4(x + 1)}{3(x + 1)(x — \frac{1}{3})} \). Сокращая общий множитель \( (x + 1) \), имеем \( \frac{4}{3(x — \frac{1}{3})} \), что эквивалентно \( \frac{4}{3x — 1} \). Таким образом, исходное выражение упрощается до \( \frac{4}{3x — 1} \).
б) Рассмотрим выражение \( \frac{2a^2 — 5a — 3}{3a — 9} \). Сначала факторизуем числитель. Решим уравнение \( 2a^2 — 5a — 3 = 0 \). Вычислим дискриминант: \( D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2 \). Корни: \( a_1 = \frac{5 — 7}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2} \), \( a_2 = \frac{5 + 7}{4} = 3 \). Значит, числитель раскладывается в произведение \( 2(a + 2)(a — 3) \).
Знаменатель можно записать как \( 3(a — 3) \). Подставляя, получаем \( \frac{2(a + 2)(a — 3)}{3(a — 3)} \). Сокращая \( (a — 3) \), остаётся \( \frac{2(a + 2)}{3} = \frac{2a + 4}{3} \).
в) Упростим \( \frac{16 — b^2}{b^2 — b — 12} \). Числитель раскладывается как разность квадратов: \( (4 — b)(4 + b) \). Знаменатель раскладываем, решая уравнение \( b^2 — b — 12 = 0 \). Дискриминант: \( D = 1 + 48 = 49 = 7^2 \). Корни: \( b_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3 \), \( b_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4 \). Значит, знаменатель раскладывается как \( (b + 3)(b — 4) \).
Подставляя, имеем \( \frac{(4 — b)(4 + b)}{(b + 3)(b — 4)} \). Можно представить числитель как \( -(b — 4)(4 + b) \), тогда дробь принимает вид \( -\frac{(b — 4)(4 + b)}{(b + 3)(b — 4)} \). Сокращая \( (b — 4) \), получаем \( -\frac{4 + b}{b + 3} \), что эквивалентно \( \frac{4 + b}{b + 3} \).
г) Рассмотрим \( \frac{2y^2 + 7y + 3}{y^2 — 9} \). Знаменатель раскладывается на \( (y — 3)(y + 3) \) как разность квадратов. Для числителя решим уравнение \( 2y^2 + 7y + 3 = 0 \). Дискриминант: \( D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 — 24 = 25 = 5^2 \). Корни: \( y_1 = \frac{-7 — 5}{2 \cdot 2} = -3 \), \( y_2 = \frac{-7 + 5}{4} = -\frac{1}{2} \). Значит, числитель раскладывается как \( 2(y + 3)(y + \frac{1}{2}) \).
Подставляя, получаем \( \frac{2(y + 3)(y + \frac{1}{2})}{(y — 3)(y + 3)} \). Сокращая \( (y + 3) \), остаётся \( \frac{2(y + \frac{1}{2})}{y — 3} = \frac{2y + 1}{y — 3} \).
д) Упростим \( \frac{p^2 — 11p + 10}{20 + 8p — p^2} \). Числитель раскладывается, решая уравнение \( p^2 — 11p + 10 = 0 \). Дискриминант: \( D = 121 — 40 = 81 = 9^2 \). Корни: \( p_1 = \frac{11 — 9}{2} = 1 \), \( p_2 = \frac{11 + 9}{2} = 10 \). Значит, числитель равен \( (p — 1)(p — 10) \).
Знаменатель перепишем как \( -(p^2 — 8p — 20) \). Решим уравнение \( p^2 — 8p — 20 = 0 \). Дискриминант: \( D = 64 + 80 = 144 = 12^2 \). Корни: \( p_1 = \frac{8 — 12}{2} = -2 \), \( p_2 = \frac{8 + 12}{2} = 10 \). Значит, знаменатель равен \( -(p + 2)(p — 10) \).
Подставляя, получаем \( \frac{(p — 1)(p — 10)}{-(p + 2)(p — 10)} = -\frac{p — 1}{p + 2} = \frac{1 — p}{p + 2} \).
е) Рассмотрим \( \frac{3x^2 + 16x — 12}{10 — 13x — 3x^2} \). В числителе решим уравнение \( 3x^2 + 16x — 12 = 0 \). Дискриминант: \( D = 16^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 256 + 144 = 400 = 20^2 \). Корни: \( x_1 = \frac{-16 — 20}{2 \cdot 3} = -6 \), \( x_2 = \frac{-16 + 20}{6} = \frac{2}{3} \). Значит, числитель равен \( 3(x + 6)(x — \frac{2}{3}) \).
Знаменатель перепишем как \( -(3x^2 + 13x — 10) \). Решим уравнение \( 3x^2 + 13x — 10 = 0 \). Дискриминант: \( D = 13^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289 = 17^2 \). Корни: \( x_1 = \frac{-13 — 17}{2 \cdot 3} = -5 \), \( x_2 = \frac{-13 + 17}{6} = \frac{2}{3} \). Значит, знаменатель равен \( -3(x + 5)(x — \frac{2}{3}) \).
Подставляя, получаем \( \frac{3(x + 6)(x — \frac{2}{3})}{-3(x + 5)(x — \frac{2}{3})} = -\frac{x + 6}{x + 5} \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!