ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 625 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:
а) \(\frac{x^2 — 11x + 24}{x^2 — 64}\);
б) \(\frac{2y^2 + 9y — 5}{4y^2 — 1}\).

\( а) \quad \frac{x^2 — 11x + 24}{x^2 — 64} = \frac{(x-3)(x-8)}{(x-8)(x+8)} = \frac{x-3}{x+8} ; \)
\( x^2 — 11x + 24 = 0. \)
\( x_1 + x_2 = 11; \quad x_1 x_2 = 24; \)
\( x_1 = 3, \quad x_2 = 8. \)

\( б) \quad \frac{2y^2 + 9y — 5}{4y^2 — 1} = \frac{2\left(y — \frac{1}{2}\right)(y+5)}{(2y — 1)(2y + 1)} = \frac{(2y — 1)(y+5)}{(2y — 1)(2y + 1)} = \frac{y+5}{2y+1} ; \)
\( 2y^2 + 9y — 5 = 0. \)
\( D = 81 + 4 \cdot 2 \cdot 5 = 81 + 40 = 121 = 11^2. \)
\( y_1 = \frac{-9 — 11}{2 \cdot 2} = \frac{-20}{4} = -5; \quad y_2 = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. \)

а) \( \frac{x^2 — 11x + 24}{x^2 — 64} = \frac{(x-3)(x-8)}{(x-8)(x+8)} = \frac{x-3}{x+8} ; \)

Для начала разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель \(x^2 — 11x + 24\) раскладывается как произведение двух двучленов, корни уравнения \(x^2 — 11x + 24 = 0\) находятся по формуле: сумма корней \(x_1 + x_2 = 11\), произведение корней \(x_1 x_2 = 24\). Подбирая числа, видим, что \(x_1 = 3\), \(x_2 = 8\), значит \(x^2 — 11x + 24 = (x-3)(x-8)\).

Знаменатель \(x^2 — 64\) — это разность квадратов, раскладывается как \((x-8)(x+8)\). После сокращения общего множителя \((x-8)\) получаем упрощённую дробь \(\frac{x-3}{x+8}\), при условии, что \(x \neq 8\) и \(x \neq -8\), так как в этих точках исходная дробь не определена.

б) \( \frac{2y^2 + 9y — 5}{4y^2 — 1} = \frac{2\left(y — \frac{1}{2}\right)(y+5)}{(2y — 1)(2y + 1)} = \frac{(2y — 1)(y+5)}{(2y — 1)(2y + 1)} = \frac{y+5}{2y+1} ; \)

Рассмотрим числитель \(2y^2 + 9y — 5\). Для его разложения найдём корни квадратного уравнения \(2y^2 + 9y — 5 = 0\). Дискриминант \(D = 9^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\). Корни:
\(y_1 = \frac{-9 — 11}{2 \cdot 2} = \frac{-20}{4} = -5\),
\(y_2 = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

Следовательно, числитель раскладывается как \(2(y — \frac{1}{2})(y + 5)\). Знаменатель \(4y^2 — 1\) — разность квадратов: \((2y — 1)(2y + 1)\). После сокращения множителя \((2y — 1)\) получаем \(\frac{y+5}{2y+1}\), при условии, что \(y \neq \frac{1}{2}\) и \(y \neq -\frac{1}{2}\), так как в этих точках дробь не определена.