ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 626 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение дроби:
а) \(\frac{36 — x^2}{6 — 7x + x^2}\) при \(x = -9; -99; -999\);
б) \(\frac{4x^2 + 8x — 32}{4x^2 — 16}\) при \(x = -1; 5; 10\).

\(a) \quad \frac{36 — x^2}{6 — 7x + x^2} = \frac{(6 — x)(6 + x)}{(x — 1)(x — 6)} = \frac{(6 — x)(6 + x)}{(1 — x)(6 — x)} = \frac{6 + x}{1 — x} ; \)
\(6 — 7x + x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 7x + 6 = 0. \)
\(x_1 + x_2 = 7; \quad x_1 x_2 = 6; \)
\(x_1 = 1, \quad x_2 = 6. \)
При \(x = -9:\)
\(\frac{6 + x}{1 — x} = \frac{6 + (-9)}{1 — (-9)} = \frac{-3}{10} = -0,3. \)
При \(x = -99:\)
\(\frac{6 + x}{1 — x} = \frac{6 + (-99)}{1 — (-99)} = \frac{-93}{100} = -0,93. \)
При \(x = -999:\)
\(\frac{6 + x}{1 — x} = \frac{6 + (-999)}{1 — (-999)} = \frac{-993}{1000} = -0,993. \)

\(б) \quad \frac{4x^2 + 8x — 32}{4x^2 — 16} = \frac{4(x^2 + 2x — 8)}{4(x^2 — 4)} = \frac{x^2 + 2x — 8}{x^2 — 4} = \)
\(= \frac{(x + 4)(x — 2)}{(x — 2)(x + 2)} = \frac{x + 4}{x + 2} ; \)
\(x^2 + 2x — 8 = 0. \)
\(x_1 + x_2 = -2; \quad x_1 x_2 = -8; \)
\(x_1 = -4, \quad x_2 = 2. \)
При \(x = -1:\)
\(\frac{x + 4}{x + 2} = \frac{-1 + 4}{-1 + 2} = \frac{3}{1} = 3. \)
При \(x = 5:\)
\(\frac{x + 4}{x + 2} = \frac{5 + 4}{5 + 2} = \frac{9}{7} = 1 \frac{2}{7}. \)
При \(x = 10:\)
\(\frac{x + 4}{x + 2} = \frac{10 + 4}{10 + 2} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6} = 1 \frac{1}{6}. \)

а) Рассмотрим выражение \(\frac{36 — x^2}{6 — 7x + x^2}\). Числитель можно представить в виде разности квадратов: \(36 — x^2 = (6 — x)(6 + x)\). Знаменатель — это квадратный трехчлен, который можно разложить на множители. Решим уравнение \(6 — 7x + x^2 = 0\) или \(x^2 — 7x + 6 = 0\). По теореме Виета сумма корней равна \(x_1 + x_2 = 7\), произведение корней \(x_1 x_2 = 6\). Подбираем корни: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 6\). Значит знаменатель раскладывается как \((x — 1)(x — 6)\).

Теперь подставим в исходную дробь:
\(\frac{(6 — x)(6 + x)}{(x — 1)(x — 6)}\). Заметим, что \((6 — x) = -(x — 6)\), тогда:
\(\frac{(6 — x)(6 + x)}{(x — 1)(x — 6)} = \frac{-(x — 6)(6 + x)}{(x — 1)(x — 6)} = \frac{-(6 + x)}{x — 1}\). Поменяем знак и порядок в знаменателе:
\(\frac{6 + x}{1 — x}\).

Для проверки подставим значения \(x = -9, -99, -999\). При \(x = -9\):
\(\frac{6 + (-9)}{1 — (-9)} = \frac{-3}{10} = -0,3\).
При \(x = -99\):
\(\frac{6 + (-99)}{1 — (-99)} = \frac{-93}{100} = -0,93\).
При \(x = -999\):
\(\frac{6 + (-999)}{1 — (-999)} = \frac{-993}{1000} = -0,993\).

б) Рассмотрим выражение \(\frac{4x^2 + 8x — 32}{4x^2 — 16}\). Вынесем общий множитель в числителе и знаменателе:
\(\frac{4(x^2 + 2x — 8)}{4(x^2 — 4)} = \frac{x^2 + 2x — 8}{x^2 — 4}\).
Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: \(x^2 + 2x — 8 = (x + 4)(x — 2)\), знаменатель: \(x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2)\).

Подставим:
\(\frac{(x + 4)(x — 2)}{(x — 2)(x + 2)}\). Сократим общий множитель \((x — 2)\), получаем:
\(\frac{x + 4}{x + 2}\).

Решим уравнение \(x^2 + 2x — 8 = 0\). По теореме Виета:
\(x_1 + x_2 = -2\), \(x_1 x_2 = -8\). Корни: \(x_1 = -4\), \(x_2 = 2\).

Проверим подстановку при \(x = -1\):
\(\frac{-1 + 4}{-1 + 2} = \frac{3}{1} = 3\).
При \(x = 5\):
\(\frac{5 + 4}{5 + 2} = \frac{9}{7} = 1 \frac{2}{7}\).
При \(x = 10\):
\(\frac{10 + 4}{10 + 2} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6} = 1 \frac{1}{6}\).