ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 627 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Чем различаются графики функций \(y = x — 4\) и \(y = \frac{x^2 — 6x + 8}{x — 2}\)?

\( y = \frac{x^2 — 6x + 8}{x — 2} = \frac{(x — 2)(x — 4)}{x — 2} = x — 4, \quad x \neq 2; \)
\( x^2 — 6x + 8 = 0. \)
\( x_1 + x_2 = 6; \quad x_1 x_2 = 8; \)
\( x_1 = 2, \quad x_2 = 4. \)

Таким образом, графики функций \( y = x — 4 \) и \( y = \frac{x^2 — 6x + 8}{x — 2} \) различаются тем, что второй график имеет разрыв в точке \( (2; -2) \).

\( y = \frac{x^2 — 6x + 8}{x — 2} \). Для упрощения выражения заметим, что числитель можно разложить на множители. Представим \( x^2 — 6x + 8 \) в виде произведения двух двучленов:
\( x^2 — 6x + 8 = (x — 2)(x — 4) \). Это разложение получено путём подбора таких чисел, сумма которых равна коэффициенту при \( x \) с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену. Тогда исходная функция переписывается как:
\( y = \frac{(x — 2)(x — 4)}{x — 2} \). При этом необходимо учитывать, что знаменатель не может быть равен нулю, то есть \( x \neq 2 \).

Поскольку \( x — 2 \neq 0 \), можно сократить дробь, получая:
\( y = x — 4, \quad x \neq 2 \). Это означает, что функция \( y \) совпадает с линейной функцией \( y = x — 4 \) на всей области определения, кроме точки \( x = 2 \). В точке \( x = 2 \) исходная функция не определена из-за деления на ноль, следовательно, в этой точке у функции разрыв.

Для более полного понимания найдём корни числителя уравнения \( x^2 — 6x + 8 = 0 \). По теореме Виета:
\( x_1 + x_2 = 6 \),
\( x_1 x_2 = 8 \).
Подставляя числа, получаем:
\( x_1 = 2, \quad x_2 = 4 \). Корень \( x_1 = 2 \) совпадает с точкой разрыва функции, что подтверждает разрыв в этой точке, а \( x_2 = 4 \) — корень, где функция равна нулю.

Таким образом, графики функций \( y = x — 4 \) и \( y = \frac{x^2 — 6x + 8}{x — 2} \) совпадают во всех точках, кроме \( x = 2 \). В этой точке второй график имеет разрыв, так как функция не определена при \( x = 2 \), а первая функция \( y = x — 4 \) — непрерывна на всей числовой оси. Следовательно, разница между графиками состоит именно в наличии разрыва у второй функции в точке \( (2; -2) \).