ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 629 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители многочлен:
а) \(4x^2 — 6x + 2xy — 3y\);
б) \(4a^3 + 2b^3 — 2a^2b — 4ab^2\).

\(а) \ 4x^2 — 6x + 2xy — 3y = 2x(2x — 3) + y(2x — 3) = \) \(= (2x — 3)(2x + y);\)

\(б) \ 4a^3 + 2b^3 — 2a^2b — 4ab^2 = (4a^3 — 4ab^2) + (2b^3 — 2a^2b) = \) \(= 4a(a^2 — b^2) + 2b(b^2 — a^2) = 4a(a^2 — b^2) — 2b(a^2 — b^2) = \) \(= (a^2 — b^2)(4a — 2b) = 2(a — b)(a + b)(2a — b).\)

а) Начинаем с выражения \(4x^2 — 6x + 2xy — 3y\). Чтобы упростить, группируем слагаемые так, чтобы выделить общий множитель: \(4x^2 — 6x\) и \(2xy — 3y\). В первой группе выносим общий множитель \(2x\), во второй — \(y\). Получаем \(2x(2x — 3) + y(2x — 3)\).

Далее видим, что в обеих частях стоит одинаковый множитель \((2x — 3)\). Это позволяет вынести его за скобки, получая произведение \((2x — 3)(2x + y)\). Таким образом, исходное выражение разложено на множители, что упрощает дальнейшие операции с ним.

б) Рассмотрим выражение \(4a^3 + 2b^3 — 2a^2b — 4ab^2\). Сначала сгруппируем члены так: \((4a^3 — 4ab^2) + (2b^3 — 2a^2b)\). В каждой группе выделяем общий множитель: в первой — \(4a\), во второй — \(2b\). Получаем \(4a(a^2 — b^2) + 2b(b^2 — a^2)\).

Обратите внимание, что во втором слагаемом скобка \(b^2 — a^2\) отличается знаком от первой \(a^2 — b^2\). Перепишем второе слагаемое как \(-2b(a^2 — b^2)\), чтобы привести к общему виду. Теперь выражение принимает вид \(4a(a^2 — b^2) — 2b(a^2 — b^2)\).

Вынесем общий множитель \((a^2 — b^2)\) за скобки: \((a^2 — b^2)(4a — 2b)\). Далее используем формулу разности квадратов для \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). Подставляем это, получая \( (a — b)(a + b)(4a — 2b) \). Заметим, что \(4a — 2b = 2(2a — b)\), значит окончательный вид: \(2(a — b)(a + b)(2a — b)\).