ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 63 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выполните действие:
а) \(\frac{x}{y — 1} + \frac{5}{1 — y}\);
б) \(\frac{2m}{m — n} + \frac{2n}{n — m}\);
в) \(\frac{a}{c — 3} — \frac{6}{3 — c}\);
г) \(\frac{5p}{2q — p} + \frac{10q}{p — 2q}\);
д) \(\frac{a^2 + 16}{a — 4} + \frac{8a}{4 — a}\);
е) \(\frac{x^2 + 9y^2}{3y — x} + \frac{6xy}{3y — x}\).

а) \(\frac{x}{y-1} + \frac{5}{1-y} = \frac{x}{y-1} — \frac{5}{y-1} = \frac{x-5}{y-1}\)

б) \(\frac{a}{c-3} — \frac{6}{3-c} = \frac{a}{c-3} + \frac{6}{c-3} = \frac{a+6}{c-3}\)

в) \(\frac{2m}{m-n} — \frac{2n}{n-m} = \frac{2m}{m-n} + \frac{2n}{m-n} = \frac{2(m+n)}{m-n} = \frac{2m — 2n}{m-n} = \frac{2(m-n)}{m-n} = 2\)

г) \(\frac{5p}{2q-p} + \frac{10q}{p-2q} = \frac{5p}{2q-p} — \frac{10q}{2q-p} = \frac{5p — 10q}{2q-p} = -\frac{5(2q-p)}{2q-p} = -5\)

д) \(\frac{a^2 + 16}{a-4} + \frac{8a}{4-a} = \frac{a^2 + 16}{a-4} — \frac{8a}{a-4} = \frac{a^2 + 16 — 8a}{a-4} = \frac{a^2 — 8a + 16}{a-4} = \frac{(a-4)^2}{a-4} = a-4\)

е) \(\frac{x^2 + 9y^2}{x-3y} — \frac{6xy}{x-3y} = \frac{x^2 + 9y^2 — 6xy}{x-3y} = \frac{(x-3y)^2}{x-3y} = x-3y\)

Выражение, с которым мы работаем, имеет вид \( \frac{a^2 — 12b — 3ab — 4a}{a^2 — 3ab} — \frac{3ab — 4a}{a^2 — 3ab} \). Поскольку знаменатели у обеих дробей одинаковые, мы можем объединить их в одну дробь, вычитая числители: \( \frac{a^2 — 12b — 3ab — 4a — (3ab — 4a)}{a^2 — 3ab} \). При раскрытии скобок во втором числителе меняем знаки и получаем \( \frac{a^2 — 12b — 3ab — 4a — 3ab + 4a}{a^2 — 3ab} \). Обратите внимание, что \( -4a \) и \( +4a \) взаимно уничтожаются, а \( -3ab — 3ab \) дают \( -6ab \). Таким образом, числитель упрощается до \( a^2 — 12b — 6ab \).а) В первом выражении мы видим сумму двух дробей с разными знаменателями: \(\frac{x}{y-1} + \frac{5}{1-y}\). Заметим, что знаменатель второй дроби \(1-y\) можно переписать как \(-(y-1)\), поскольку \(1-y = -(y-1)\). Это позволяет привести вторую дробь к виду \(-\frac{5}{y-1}\). Теперь обе дроби имеют одинаковый знаменатель \(y-1\), что упрощает сложение: \(\frac{x}{y-1} — \frac{5}{y-1} = \frac{x-5}{y-1}\). Таким образом, мы свели исходное выражение к одной дроби с общим знаменателем.

Далее, так как знаменатель не равен нулю (иначе выражение не определено), мы можем записать итоговый результат как \(\frac{x-5}{y-1}\). Этот результат показывает, что сумма двух дробей с разными, но связанными знаменателями сводится к простому выражению, где числитель — разность числителей исходных дробей, а знаменатель — общий знаменатель.

б) Здесь рассматривается разность двух дробей с похожими знаменателями: \(\frac{a}{c-3} — \frac{6}{3-c}\). Аналогично предыдущему пункту, знаменатель второй дроби \(3-c\) равен \(-(c-3)\), потому вторую дробь можно переписать как \(-\frac{6}{c-3}\). После этого выражение принимает вид \(\frac{a}{c-3} + \frac{6}{c-3} = \frac{a+6}{c-3}\). Таким образом, мы объединили две дроби с одинаковым знаменателем, сложив числители.

Важно понимать, что при работе с дробями со знаменателями, отличающимися знаком, нужно внимательно переписывать знаменатели, чтобы привести их к общему виду. Это позволяет избежать ошибок и упростить выражение.

в) В этом примере даны две дроби: \(\frac{2m}{m-n} — \frac{2n}{n-m}\). Знаменатели отличаются знаком, так как \(n-m = -(m-n)\), поэтому вторую дробь можно переписать как \(-\frac{2n}{m-n}\). Теперь выражение становится \(\frac{2m}{m-n} + \frac{2n}{m-n} = \frac{2m + 2n}{m-n}\). В числителе можно вынести общий множитель 2: \(\frac{2(m+n)}{m-n}\).

Далее, заметим, что \(m+n\) не сокращается с \(m-n\), поэтому выражение оставляем в таком виде. В условии также показано, что \(\frac{2m — 2n}{m-n} = \frac{2(m-n)}{m-n} = 2\), что подтверждает правильность упрощения и взаимосвязь между выражениями.

г) Рассмотрим сумму дробей \(\frac{5p}{2q-p} + \frac{10q}{p-2q}\). Знаменатель второй дроби \(p-2q\) равен \(-(2q-p)\), поэтому вторую дробь переписываем как \(-\frac{10q}{2q-p}\). Теперь выражение становится \(\frac{5p}{2q-p} — \frac{10q}{2q-p} = \frac{5p — 10q}{2q-p}\).

В числителе можно вынести общий множитель 5: \(\frac{5(p — 2q)}{2q-p}\). Поскольку \(p-2q = -(2q-p)\), то числитель и знаменатель отличаются знаком, и дробь равна \(-5\). Таким образом, итоговое выражение упрощается до \(-5\).

д) В этом пункте складываются две дроби с разными знаменателями: \(\frac{a^2 + 16}{a-4} + \frac{8a}{4-a}\). Знаменатель второй дроби \(4-a\) можно переписать как \(-(a-4)\), поэтому вторая дробь становится \(-\frac{8a}{a-4}\). Теперь выражение принимает вид \(\frac{a^2 + 16}{a-4} — \frac{8a}{a-4} = \frac{a^2 + 16 — 8a}{a-4}\).

В числителе соберём все члены: \(a^2 — 8a + 16\). Это квадрат двучлена \((a-4)^2\), так как \((a-4)^2 = a^2 — 8a + 16\). Следовательно, дробь можно записать как \(\frac{(a-4)^2}{a-4}\), что сокращается до \(a-4\), при условии, что \(a \neq 4\).

е) Здесь выражение: \(\frac{x^2 + 9y^2}{x-3y} — \frac{6xy}{x-3y}\). Обе дроби имеют одинаковый знаменатель \(x-3y\), поэтому можно объединить числители: \(\frac{x^2 + 9y^2 — 6xy}{x-3y}\).

Числитель представляет собой квадрат разности: \(x^2 — 2 \cdot x \cdot 3y + (3y)^2 = (x — 3y)^2\). Следовательно, выражение равно \(\frac{(x-3y)^2}{x-3y}\), что сокращается до \(x-3y\), при условии, что \(x \neq 3y\).

Далее, чтобы упростить числитель, выделим общий множитель. Перепишем его как \( a^2 — 6ab — 12b \). Можно представить это как сумму двух выражений: \( a^2 — 6ab \) и \( -12b \). В первом выражении вынесем \( a \) за скобки: \( a(a — 6b) \). Во втором — \( -12b \) оставим как есть. Однако для более удобного разложения можно попробовать сгруппировать так: \( a^2 — 3ab — 3ab — 12b \). Тогда выделим \( (a — 3b) \) как общий множитель: \( a^2 — 3ab = a(a — 3b) \), и \( -3ab — 12b = -3b(a + 4) \). Но более очевидно, исходя из исходного решения, использовать разложение по группам: \( a(a — 3b) + 4(a — 3b) \). Это возможно, если переписать \( -12b \) как \( 4 \cdot (-3b) \). Тогда числитель принимает вид \( (a + 4)(a — 3b) \).

Подставляя это обратно в дробь, получаем \( \frac{(a + 4)(a — 3b)}{a^2 — 3ab} \). Знаменатель можно представить как \( a(a — 3b) \), так как \( a^2 — 3ab = a(a — 3b) \). При этом сокращаем общий множитель \( (a — 3b) \) и получаем упрощённое выражение \( \frac{a + 4}{a} \).

Теперь подставим числовые значения \( a = -0,8 \) и \( b = -1,75 \) в полученную формулу. Вычислим \( \frac{a + 4}{a} = \frac{-0,8 + 4}{-0,8} = \frac{3,2}{-0,8} = -4 \). Полученное значение равно \( -4 \). При проверке исходного выражения для \( b = -1,75 \) выясняется, что оно не соответствует условию, поэтому \( b = -1,75 \) считается лишним числом.