Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 631 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Найдите корни уравнения:
а) \( \frac{y^2}{y+3} = \frac{y}{y+3} \)
б) \( \frac{x^2}{x-4} = \frac{5x-6}{x-4} \)
в) \( \frac{2x^2}{x-2} = \frac{-7x+6}{2-x} \)
г) \( \frac{y^2-6y}{y-5} = \frac{5}{5-y} \)
д) \( \frac{2x-1}{x+7} = \frac{3x+4}{x-1} \)
е) \( \frac{2y+3}{2y-1} = \frac{y-5}{y+3} \)
ж) \( \frac{5y+1}{y+1} = \frac{y+2}{y} \)
з) \( \frac{1+3x}{1-2x} = \frac{5-3x}{1+2x} \)
и) \( \frac{x-1}{2x+3} = \frac{2x-1}{3-2x} = 0 \)
а) \( \frac{y^2}{y+3} = \frac{y}{y+3} \)
ОДЗ: \( y \neq -3 \)
\( y^2 = y \)
\( y^2 — y = 0 \)
\( y(y-1) = 0 \)
\( y = 0, \quad y = 1 \)
Ответ: \( y = 0, y = 1 \).
б) \( \frac{2x^2}{x-2} = \frac{-7x+6}{2-x} \)
\( \frac{2x^2}{x-2} = \frac{-7x-6}{x-2} \)
ОДЗ: \( x \neq 2 \)
\( 2x^2 — 7x + 6 = 0 \)
\( D = 49 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 1 \)
\( x_1 = \frac{7-1}{4} = \frac{6}{4} = 1,5, \quad x_2 = \frac{7+1}{4} = \frac{8}{4} = 2 \) — не подх.
Ответ: \( x = 1,5 \).
в) \( \frac{x^2}{x^2-4} = \frac{5x-6}{x^2-4} \)
ОДЗ: \( x \neq \pm 2 \)
\( x^2 — 5x + 6 = 0 \)
\( D = 25 — 4 \cdot 6 = 1 \)
\( x_1 = \frac{5-1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) — не подход., \( x_2 = \frac{5+1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
Ответ: \( x = 3 \).
г) \( \frac{y^2-6y}{y-5} = \frac{5}{5-y} \)
\( \frac{y^2-6y}{y-5} = \frac{-5}{y-5} \)
ОДЗ: \( y \neq 5 \)
\( y^2 — 6y + 5 = 0 \)
\( D = 36 — 4 \cdot 5 = 16 = 4^2 \)
\( y_1 = \frac{6-4}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{6+4}{2} = 5 \) — не подход.
Ответ: \( y = 1 \).
д) \( \frac{2x-1}{x+7} = \frac{3x+4}{x-1} \)
ОДЗ: \( x \neq -7, \quad x \neq 1 \)
\( (2x-1)(x-1) = (3x+4)(x+7) \)
\( 2x^2 — 2x — x + 1 = 3x^2 + 21x + 4x + 28 \)
\( 3x^2 + 25x + 28 — 2x^2 + 3x — 1 = 0 \)
\( x^2 + 28x + 27 = 0 \)
\( D = 784 — 4 \cdot 27 = 676 = 26^2 \)
\( x_1 = \frac{-28-26}{2} = \frac{-54}{2} = -27, \quad x_2 = \frac{-28+26}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
Ответ: \( x = -27, x = -1 \).
е) \( \frac{2y+3}{2y-1} = \frac{y-5}{y+3} \)
ОДЗ: \( y \neq -3, \quad y \neq 0,5 \)
\( (2y+3)(y+3) = (y-5)(2y-1) \)
\( 2y^2 + 6y + 3y + 9 = 2y^2 — y — 10y + 5 \)
\( 9y + 9 + 11y — 5 = 0 \)
\( 20y = -4 \)
\( y = -0,2 \)
Ответ: \( y = -0,2 \).
ж) \( \frac{5y+1}{y+1} = \frac{y+2}{y} \)
ОДЗ: \( y \neq 0, \quad y \neq -1 \)
\( y(5y+1) = (y+2)(y+1) \)
\( 5y^2 + y = y^2 + y + 2y + 2 \)
\( 5y^2 + y — y^2 — 3y — 2 = 0 \)
\( 4y^2 — 2y — 2 = 0 \quad |:2 \)
\( 2y^2 — y — 1 = 0 \)
\( D = 1 + 4 \cdot 2 = 9 = 3^2 \)
\( y_1 = \frac{1-3}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5, \quad y_2 = \frac{1+3}{4} = \frac{4}{4} = 1 \)
Ответ: \( y = -0,5; y = 1 \).
з) \( \frac{1+3x}{1-2x} = \frac{5-3x}{1+2x} \)
ОДЗ: \( x \neq \pm 0,5 \)
\( (1+3x)(1+2x) = (5-3x)(1-2x) \)
\( 1 + 2x + 3x + 6x^2 = 5 — 10x — 3x + 6x^2 \)
\( 5x + 13x = 5 — 1 \)
\( 18x = 4 \)
\( x = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} \)
Ответ: \( x = \frac{2}{9} \).
и) \( \frac{x-1}{2x+3} = \frac{2x-1}{3-2x} = 0 \)
ОДЗ: \( x \neq \pm 1,5 \)
\( (x-1)(3-2x) — (2x-1)(2x+3) = 0 \)
\( 3x — 2x^2 — 3 + 2x — (4x^2 + 6x — 2x — 3) = 0 \)
\( 5x — 2x^2 — 3 — 4x^2 — 4x + 3 = 0 \)
\( -6x^2 + x = 0 \)
\( -x(6x-1) = 0 \)
\( x = 0, \quad x = \frac{1}{6} \)
Ответ: \( x = 0, x = \frac{1}{6} \).
а) \( \frac{y^2}{y+3} = \frac{y}{y+3} \) — это уравнение с дробями, имеющими одинаковый знаменатель. Прежде всего необходимо определить область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( y \neq -3 \). Когда две дроби с одинаковыми знаменателями равны друг другу, это означает, что равны и их числители, при условии что знаменатель не равен нулю.
Переносим все в левую часть и приравниваем к нулю: \( y^2 — y = 0 \). Выносим общий множитель \( y \) за скобки: \( y(y-1) = 0 \). Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два решения: \( y = 0 \) или \( y — 1 = 0 \), откуда \( y = 1 \). Оба значения удовлетворяют ОДЗ, так как ни одно из них не равно \( -3 \).
б) \( \frac{2x^2}{x-2} = \frac{-7x+6}{2-x} \) — здесь знаменатели различаются знаком. Заметим, что \( 2 — x = -(x-2) \), поэтому можно переписать вторую дробь: \( \frac{-7x+6}{2-x} = \frac{-7x+6}{-(x-2)} = \frac{7x-6}{x-2} \). Таким образом уравнение принимает вид \( \frac{2x^2}{x-2} = \frac{7x-6}{x-2} \). Область допустимых значений: \( x \neq 2 \).
Поскольку знаменатели одинаковые и ненулевые, приравниваем числители: \( 2x^2 = 7x — 6 \), или \( 2x^2 — 7x + 6 = 0 \). Используем формулу дискриминанта: \( D = b^2 — 4ac = 49 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 — 48 = 1 \). Дискриминант положительный, значит уравнение имеет два различных корня. По формуле корней: \( x = \frac{7 \pm 1}{4} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{7-1}{4} = \frac{6}{4} = 1,5 \). Второй корень: \( x_2 = \frac{7+1}{4} = \frac{8}{4} = 2 \). Однако \( x_2 = 2 \) не входит в ОДЗ (обращает знаменатель в ноль), поэтому это значение отбрасываем.
в) \( \frac{x^2}{x^2-4} = \frac{5x-6}{x^2-4} \) — это уравнение с одинаковыми знаменателями. Заметим, что \( x^2 — 4 = (x-2)(x+2) \), поэтому область допустимых значений: \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \), или можно записать \( x \neq \pm 2 \). Так как знаменатели равны и ненулевые, приравниваем числители.
Получаем \( x^2 = 5x — 6 \), перенося все в левую часть: \( x^2 — 5x + 6 = 0 \). Вычисляем дискриминант: \( D = 25 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1 \). Корни уравнения: \( x = \frac{5 \pm 1}{2} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{5-1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \). Второй корень: \( x_2 = \frac{5+1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \). Значение \( x_1 = 2 \) не входит в ОДЗ, так как обращает знаменатель в ноль. Проверяем \( x_2 = 3 \): это значение не равно ни 2, ни -2, поэтому оно входит в ОДЗ и является решением.
г) \( \frac{y^2-6y}{y-5} = \frac{5}{5-y} \) — в этом уравнении знаменатели противоположны. Заметим, что \( 5 — y = -(y-5) \), поэтому \( \frac{5}{5-y} = \frac{5}{-(y-5)} = \frac{-5}{y-5} \). Уравнение переписывается как \( \frac{y^2-6y}{y-5} = \frac{-5}{y-5} \). Область допустимых значений: \( y \neq 5 \).
Приравниваем числители: \( y^2 — 6y = -5 \), или \( y^2 — 6y + 5 = 0 \). Вычисляем дискриминант: \( D = 36 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16 = 4^2 \). Корни: \( y = \frac{6 \pm 4}{2} \). Первый корень: \( y_1 = \frac{6-4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \). Второй корень: \( y_2 = \frac{6+4}{2} = \frac{10}{2} = 5 \). Значение \( y_2 = 5 \) не входит в ОДЗ, так как обращает знаменатель в ноль. Значение \( y_1 = 1 \) входит в ОДЗ и является решением.
д) \( \frac{2x-1}{x+7} = \frac{3x+4}{x-1} \) — это уравнение содержит дроби с разными знаменателями. Область допустимых значений: \( x \neq -7 \) и \( x \neq 1 \). Для решения применяем свойство пропорции: если \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), то \( ad = bc \). Перемножаем крест-накрест: \( (2x-1)(x-1) = (3x+4)(x+7) \).
Раскрываем скобки в левой части: \( (2x-1)(x-1) = 2x^2 — 2x — x + 1 = 2x^2 — 3x + 1 \). Раскрываем скобки в правой части: \( (3x+4)(x+7) = 3x^2 + 21x + 4x + 28 = 3x^2 + 25x + 28 \). Получаем уравнение: \( 2x^2 — 3x + 1 = 3x^2 + 25x + 28 \). Переносим все в левую часть: \( 2x^2 — 3x + 1 — 3x^2 — 25x — 28 = 0 \), или \( -x^2 — 28x — 27 = 0 \), что эквивалентно \( x^2 + 28x + 27 = 0 \).
Вычисляем дискриминант: \( D = 28^2 — 4 \cdot 1 \cdot 27 = 784 — 108 = 676 = 26^2 \). Корни уравнения: \( x = \frac{-28 \pm 26}{2} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{-28-26}{2} = \frac{-54}{2} = -27 \). Второй корень: \( x_2 = \frac{-28+26}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \). Оба значения входят в ОДЗ (не равны -7 и 1), поэтому оба являются решениями.
е) \( \frac{2y+3}{2y-1} = \frac{y-5}{y+3} \) — уравнение с дробями, имеющими разные знаменатели. Область допустимых значений: \( y \neq \frac{1}{2} \) (так как \( 2y — 1 = 0 \) при \( y = 0,5 \)) и \( y \neq -3 \). Применяем правило пропорции, перемножая крест-накрест: \( (2y+3)(y+3) = (y-5)(2y-1) \).
Раскрываем скобки в левой части: \( (2y+3)(y+3) = 2y^2 + 6y + 3y + 9 = 2y^2 + 9y + 9 \). Раскрываем скобки в правой части: \( (y-5)(2y-1) = 2y^2 — y — 10y + 5 = 2y^2 — 11y + 5 \). Получаем уравнение: \( 2y^2 + 9y + 9 = 2y^2 — 11y + 5 \). Сокращаем \( 2y^2 \) с обеих сторон: \( 9y + 9 = -11y + 5 \). Переносим переменные в левую часть, а числа в правую: \( 9y + 11y = 5 — 9 \), или \( 20y = -4 \). Делим обе части на 20: \( y = \frac{-4}{20} = \frac{-1}{5} = -0,2 \). Это значение входит в ОДЗ.
ж) \( \frac{5y+1}{y+1} = \frac{y+2}{y} \) — уравнение с дробями, имеющими разные знаменатели. Область допустимых значений: \( y \neq -1 \) и \( y \neq 0 \). Перемножаем крест-накрест: \( (5y+1) \cdot y = (y+2)(y+1) \).
Раскрываем скобки в левой части: \( (5y+1)y = 5y^2 + y \). Раскрываем скобки в правой части: \( (y+2)(y+1) = y^2 + y + 2y + 2 = y^2 + 3y + 2 \). Получаем уравнение: \( 5y^2 + y = y^2 + 3y + 2 \). Переносим все в левую часть: \( 5y^2 + y — y^2 — 3y — 2 = 0 \), или \( 4y^2 — 2y — 2 = 0 \). Можно упростить, разделив на 2: \( 2y^2 — y — 1 = 0 \). Вычисляем дискриминант: \( D = 1 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2 \). Корни: \( y = \frac{1 \pm 3}{4} \). Первый корень: \( y_1 = \frac{1-3}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5 \). Второй корень: \( y_2 = \frac{1+3}{4} = \frac{4}{4} = 1 \). Оба значения входят в ОДЗ.
з) \( \frac{1+3x}{1-2x} = \frac{5-3x}{1+2x} \) — уравнение с дробями, имеющими разные знаменатели. Область допустимых значений: \( 1 — 2x \neq 0 \), откуда \( x \neq 0,5 \), и \( 1 + 2x \neq 0 \), откуда \( x \neq -0,5 \). Перемножаем крест-накрест: \( (1+3x)(1+2x) = (5-3x)(1-2x) \).
Раскрываем скобки в левой части: \( (1+3x)(1+2x) = 1 + 2x + 3x + 6x^2 = 1 + 5x + 6x^2 \). Раскрываем скобки в правой части: \( (5-3x)(1-2x) = 5 — 10x — 3x + 6x^2 = 5 — 13x + 6x^2 \). Получаем уравнение: \( 1 + 5x + 6x^2 = 5 — 13x + 6x^2 \). Сокращаем \( 6x^2 \) с обеих сторон: \( 1 + 5x = 5 — 13x \). Переносим переменные в левую часть, числа в правую: \( 5x + 13x = 5 — 1 \), или \( 18x = 4 \). Делим на 18: \( x = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} \). Это значение входит в ОДЗ.
и) \( \frac{x-1}{2x+3} — \frac{2x-1}{3-2x} = 0 \) — это уравнение содержит разность двух дробей. Область допустимых значений: \( 2x + 3 \neq 0 \), откуда \( x \neq -1,5 \), и \( 3 — 2x \neq 0 \), откуда \( x \neq 1,5 \). Заметим, что \( 3 — 2x = -(2x — 3) \), но здесь знаменатель \( 3 — 2x \), поэтому перепишем: \( \frac{2x-1}{3-2x} = \frac{2x-1}{-(2x-3)} = \frac{-(2x-1)}{2x-3} = \frac{1-2x}{2x-3} \). Однако проще работать с исходной формой.
Переносим вторую дробь в правую часть: \( \frac{x-1}{2x+3} = \frac{2x-1}{3-2x} \). Заметим, что \( 3 — 2x = -(2x-3) \), поэтому \( \frac{2x-1}{3-2x} = -\frac{2x-1}{2x-3} \). Но удобнее применить правило пропорции к исходному виду. Перемножаем крест-накрест: \( (x-1)(3-2x) = (2x-1)(2x+3) \). Раскрываем скобки в левой части: \( (x-1)(3-2x) = 3x — 2x^2 — 3 + 2x = -2x^2 + 5x — 3 \). Раскрываем скобки в правой части: \( (2x-1)(2x+3) = 4x^2 + 6x — 2x — 3 = 4x^2 + 4x — 3 \). Получаем: \( -2x^2 + 5x — 3 = 4x^2 + 4x — 3 \). Сокращаем \( -3 \) с обеих сторон: \( -2x^2 + 5x = 4x^2 + 4x \). Переносим все в левую часть: \( -2x^2 + 5x — 4x^2 — 4x = 0 \), или \( -6x^2 + x = 0 \). Выносим общий множитель: \( -x(6x — 1) = 0 \), или \( x(6x — 1) = 0 \). Получаем два решения: \( x = 0 \) или \( 6x — 1 = 0 \), откуда \( x = \frac{1}{6} \). Оба значения входят в ОДЗ.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!