ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 632 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \( \frac{2x-5}{x+5} — 4 = 0 \)

б) \( \frac{12}{7-x} = x \)

в) \( \frac{x^2-4}{4x} = \frac{3x-2}{2x} \)

г) \( \frac{10}{2x-3} = x — 1 \)

д) \( \frac{8}{x} = 3x + 2 \)

е) \( \frac{x^2+4x}{x+2} = 3 \)

ж) \( \frac{2x^2-5x+3}{10x-5} = 0 \)

з) \( \frac{4x^3-9x}{x+1,5} = 0 \)

а) \( \frac{2x — 5}{x + 5} — 4 = 0 \)

ОДЗ: \( x \neq -5 \)

\( 2x — 5 — 4(x + 5) = 0 \)

\( 2x — 5 — 4x — 20 = 0 \)

\( -2x — 25 = 0 \)

\( -2x = 25 \)

\( x = -12,5 \)

Ответ: \( x = -12,5 \)

б) \( \frac{x^2 — 4}{4x} = \frac{3x — 2}{2x} \)

ОДЗ: \( x \neq 0 \)

\( x^2 — 4 = 2(3x — 2) \)

\( x^2 — 4 — 6x + 4 = 0 \)

\( x^2 — 6x = 0 \)

\( x(x — 6) = 0 \)

\( x = 0 \) — не подходит, \( x = 6 \)

Ответ: \( x = 6 \)

в) \( \frac{12}{7 — x} = x \)

ОДЗ: \( x \neq 7 \)

\( 12 — x(7 — x) = 0 \)

\( 12 — 7x + x^2 = 0 \)

\( x^2 — 7x + 12 = 0 \)

\( D = 49 — 4 \cdot 12 = 1 \)

\( x_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4 \)

Ответ: \( x = 3, \quad x = 4 \)

г) \( \frac{8}{x} = 3x + 2 \)

ОДЗ: \( x \neq 0 \)

\( 8 — x(3x + 2) = 0 \)

\( 8 — 3x^2 — 2x = 0 \)

\( 3x^2 + 2x — 8 = 0 \)

\( D = 4 + 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 = 10^2 \)

\( x_1 = \frac{-2 — 10}{6} = -2, \quad x_2 = \frac{-2 + 10}{6} = \frac{4}{3} \)

Ответ: \( x = -2, \quad x = \frac{4}{3} \)

д) \( \frac{x^2 + 4x}{x + 2} = \frac{2x}{3} \)

ОДЗ: \( x \neq -2 \)

\( 3(x^2 + 4x) = 2x(x + 2) \)

\( 3x^2 + 12x — 2x^2 — 4x = 0 \)

\( x^2 + 8x = 0 \)

\( x(x + 8) = 0 \)

\( x = 0, \quad x = -8 \)

Ответ: \( x = 0, \quad x = -8 \)

е) \( \frac{10}{2x — 3} = x — 1 \)

ОДЗ: \( x \neq 1,5 \)

\( 10 = (x — 1)(2x — 3) \)

\( 10 = 2x^2 — 3x — 2x + 3 \)

\( 2x^2 — 5x + 3 — 10 = 0 \)

\( 2x^2 — 5x — 7 = 0 \)

\( D = 25 + 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 = 9^2 \)

\( x_1 = \frac{5 — 9}{4} = -1, \quad x_2 = \frac{5 + 9}{4} = 3,5 \)

Ответ: \( x = -1, \quad x = 3,5 \)

ж) \( \frac{2x^2 — 5x + 3}{10x — 5} = 0 \)

ОДЗ: \( x \neq 0,5 \)

\( 2x^2 — 5x + 3 = 0 \)

\( D = 25 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 \)

\( x_1 = \frac{5 — 1}{4} = 1, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{4} = 1,5 \)

Ответ: \( x = 1; \quad x = 1,5 \)

з) \( \frac{4x^3 — 9x}{x + 1,5} = 0 \)

ОДЗ: \( x \neq -1,5 \)

\( 4x^3 — 9x = 0 \)

\( x(4x^2 — 9) = 0 \)

\( x = 0, \quad x^2 = \frac{9}{4} \)

\( x = 0, \quad x = 1,5, \quad x = -1,5 \) — не подходит

Ответ: \( x = 0, \quad x = 1,5 \)

а) \( \frac{2x — 5}{x + 5} — 4 = 0 \)

Область допустимых значений определяется условием, что знаменатель не равен нулю: \( x + 5 \neq 0 \), следовательно \( x \neq -5 \). Для решения этого уравнения необходимо привести дробь к общему знаменателю. Число 4 можно представить как \( \frac{4(x + 5)}{x + 5} \), тогда уравнение принимает вид \( \frac{2x — 5 — 4(x + 5)}{x + 5} = 0 \). Дробь равна нулю только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Раскроем скобки в числителе: \( 2x — 5 — 4x — 20 = 0 \). Приведём подобные члены: \( -2x — 25 = 0 \). Перенесём 25 в правую часть: \( -2x = 25 \). Разделим обе части на \( -2 \): \( x = -12,5 \). Проверим, что полученное значение не нарушает область допустимых значений: \( -12,5 \neq -5 \), поэтому это значение является корнем уравнения.

Таким образом, решение уравнения \( \frac{2x — 5}{x + 5} — 4 = 0 \) даёт единственный корень \( x = -12,5 \). Этот результат получен путём приведения дробного уравнения к алгебраическому виду и последующего решения линейного уравнения с учётом ограничений области допустимых значений.

б) \( \frac{x^2 — 4}{4x} = \frac{3x — 2}{2x} \)

Область допустимых значений требует, чтобы \( x \neq 0 \), так как переменная находится в знаменателе обеих дробей. Для решения этого уравнения применим метод пропорции. Приведём дроби к общему знаменателю, умножив вторую дробь на \( \frac{2}{2} \): \( \frac{x^2 — 4}{4x} = \frac{2(3x — 2)}{4x} \). Поскольку знаменатели равны, то и числители должны быть равны: \( x^2 — 4 = 2(3x — 2) \).

Раскроем скобки в правой части: \( x^2 — 4 = 6x — 4 \). Перенесём все члены в левую часть: \( x^2 — 4 — 6x + 4 = 0 \). Приведём подобные члены: \( x^2 — 6x = 0 \). Вынесем общий множитель: \( x(x — 6) = 0 \). Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: \( x = 0 \) или \( x — 6 = 0 \), откуда \( x = 6 \).

Проверим полученные значения на соответствие области допустимых значений. Значение \( x = 0 \) не входит в область допустимых значений, так как обращает знаменатели в нуль, поэтому оно исключается. Значение \( x = 6 \) удовлетворяет условию \( x \neq 0 \), поэтому является корнем уравнения. Окончательный ответ: \( x = 6 \).

в) \( \frac{12}{7 — x} = x \)

Область допустимых значений определяется условием \( 7 — x \neq 0 \), откуда \( x \neq 7 \). Для решения этого уравнения умножим обе части на \( (7 — x) \), при условии что \( 7 — x \neq 0 \). Получаем: \( 12 = x(7 — x) \). Раскроем скобки в правой части: \( 12 = 7x — x^2 \). Перенесём все члены в левую часть: \( 12 — 7x + x^2 = 0 \). Переупорядочим члены: \( x^2 — 7x + 12 = 0 \).

Решим квадратное уравнение через дискриминант. Вычислим дискриминант: \( D = b^2 — 4ac = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 — 48 = 1 \). Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных действительных корня. Применим формулу корней квадратного уравнения: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{7 \pm 1}{2} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{7 — 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \). Второй корень: \( x_2 = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).

Проверим оба корня на соответствие области допустимых значений. Для \( x = 3 \): \( 3 \neq 7 \), поэтому это значение входит в область допустимых значений. Для \( x = 4 \): \( 4 \neq 7 \), поэтому это значение также входит в область допустимых значений. Оба корня являются решениями исходного уравнения: \( x = 3 \) и \( x = 4 \).

г) \( \frac{8}{x} = 3x + 2 \)

Область допустимых значений требует \( x \neq 0 \). Умножим обе части уравнения на \( x \), при условии что \( x \neq 0 \): \( 8 = x(3x + 2) \). Раскроем скобки в правой части: \( 8 = 3x^2 + 2x \). Перенесём все члены в левую часть: \( 8 — 3x^2 — 2x = 0 \). Переупорядочим в стандартный вид: \( 3x^2 + 2x — 8 = 0 \). Это квадратное уравнение с коэффициентами \( a = 3 \), \( b = 2 \), \( c = -8 \).

Вычислим дискриминант: \( D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100 = 10^2 \). Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два различных действительных корня. Применим формулу корней: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 10}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 10}{6} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{-2 — 10}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \). Второй корень: \( x_2 = \frac{-2 + 10}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \).

Проверим оба корня на соответствие области допустимых значений. Для \( x = -2 \): \( -2 \neq 0 \), поэтому это значение входит в область допустимых значений. Для \( x = \frac{4}{3} \): \( \frac{4}{3} \neq 0 \), поэтому это значение также входит в область допустимых значений. Оба корня являются решениями исходного уравнения: \( x = -2 \) и \( x = \frac{4}{3} \).

д) \( \frac{x^2 + 4x}{x + 2} = \frac{2x}{3} \)

Область допустимых значений определяется условием \( x + 2 \neq 0 \), откуда \( x \neq -2 \). Для решения этого уравнения применим метод пропорции. Умножим обе части на \( 3(x + 2) \), при условии что \( x + 2 \neq 0 \): \( 3(x^2 + 4x) = 2x(x + 2) \). Раскроем скобки в левой части: \( 3x^2 + 12x = 2x(x + 2) \). Раскроем скобки в правой части: \( 3x^2 + 12x = 2x^2 + 4x \).

Перенесём все члены в левую часть: \( 3x^2 + 12x — 2x^2 — 4x = 0 \). Приведём подобные члены: \( x^2 + 8x = 0 \). Вынесем общий множитель: \( x(x + 8) = 0 \). Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: \( x = 0 \) или \( x + 8 = 0 \), откуда \( x = -8 \).

Проверим полученные значения на соответствие области допустимых значений. Для \( x = 0 \): \( 0 \neq -2 \), поэтому это значение входит в область допустимых значений. Для \( x = -8 \): \( -8 \neq -2 \), поэтому это значение также входит в область допустимых значений. Оба корня являются решениями исходного уравнения: \( x = 0 \) и \( x = -8 \).

е) \( \frac{10}{2x — 3} = x — 1 \)

Область допустимых значений требует \( 2x — 3 \neq 0 \), откуда \( x \neq 1,5 \). Умножим обе части уравнения на \( (2x — 3) \), при условии что \( 2x — 3 \neq 0 \): \( 10 = (x — 1)(2x — 3) \). Раскроем скобки в правой части, применяя распределительное свойство: \( 10 = x \cdot 2x + x \cdot (-3) + (-1) \cdot 2x + (-1) \cdot (-3) = 2x^2 — 3x — 2x + 3 \). Приведём подобные члены: \( 10 = 2x^2 — 5x + 3 \).

Перенесём все члены в левую часть: \( 10 — 2x^2 + 5x — 3 = 0 \). Упростим: \( -2x^2 + 5x + 7 = 0 \). Умножим на \( -1 \) для удобства: \( 2x^2 — 5x — 7 = 0 \). Это квадратное уравнение с коэффициентами \( a = 2 \), \( b = -5 \), \( c = -7 \). Вычислим дискриминант: \( D = b^2 — 4ac = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^2 \).

Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два различных действительных корня. Применим формулу корней: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 9}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 9}{4} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{5 — 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \). Второй корень: \( x_2 = \frac{5 + 9}{4} = \frac{14}{4} = 3,5 \). Проверим оба корня на соответствие области допустимых значений. Для \( x = -1 \): \( -1 \neq 1,5 \), поэтому это значение входит в область допустимых значений. Для \( x = 3,5 \): \( 3,5 \neq 1,5 \), поэтому это значение также входит в область допустимых значений. Оба корня являются решениями исходного уравнения: \( x = -1 \) и \( x = 3,5 \).

ж) \( \frac{2x^2 — 5x + 3}{10x — 5} = 0 \)

Область допустимых значений определяется условием, что знаменатель не равен нулю: \( 10x — 5 \neq 0 \). Решим это неравенство: \( 10x \neq 5 \), откуда \( x \neq 0,5 \). Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Следовательно, необходимо решить уравнение \( 2x^2 — 5x + 3 = 0 \). Это квадратное уравнение с коэффициентами \( a = 2 \), \( b = -5 \), \( c = 3 \).

Вычислим дискриминант: \( D = b^2 — 4ac = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 — 24 = 1 = 1^2 \). Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два различных действительных корня. Применим формулу корней: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 1}{4} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{5 — 1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \). Второй корень: \( x_2 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = 1,5 \).

Проверим полученные значения на соответствие области допустимых значений. Для \( x = 1 \): \( 1 \neq 0,5 \), поэтому это значение входит в область допустимых значений и является корнем исходного уравнения. Для \( x = 1,5 \): \( 1,5 \neq 0,5 \), поэтому это значение также входит в область допустимых значений и является корнем исходного уравнения. Оба корня являются решениями: \( x = 1 \) и \( x = 1,5 \).

з) \( \frac{4x^3 — 9x}{x + 1,5} = 0 \)

Область допустимых значений определяется условием, что знаменатель не равен нулю: \( x + 1,5 \neq 0 \), откуда \( x \neq -1,5 \). Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Следовательно, необходимо решить уравнение \( 4x^3 — 9x = 0 \). Вынесем общий множитель \( x \) из обоих членов: \( x(4x^2 — 9) = 0 \). Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: \( x = 0 \) или \( 4x^2 — 9 = 0 \).

Решим второе уравнение. Заметим, что \( 4x^2 — 9 \) представляет собой разность квадратов: \( (2x)^2 — 3^2 = (2x — 3)(2x + 3) \). Таким образом, \( (2x — 3)(2x + 3) = 0 \). Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: \( 2x — 3 = 0 \) или \( 2x + 3 = 0 \). Из первого уравнения: \( 2x = 3 \), откуда \( x = 1,5 \). Из второго уравнения: \( 2x = -3 \), откуда \( x = -1,5 \).

Проверим все найденные значения на соответствие области допустимых значений. Для \( x = 0 \): \( 0 \neq -1,5 \), поэтому это значение входит в область допустимых значений и является корнем исходного уравнения. Для \( x = 1,5 \): \( 1,5 \neq -1,5 \), поэтому это значение входит в область допустимых значений и является корнем исходного уравнения. Для \( x = -1,5 \): это значение не входит в область допустимых значений, так как обращает знаменатель в нуль, поэтому оно исключается из ответа. Окончательный ответ: \( x = 0 \) и \( x = 1,5 \).