Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 633 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Найдите корни уравнения:
а) \( \frac{x^2}{x^2+1} = \frac{7x}{x^2+1} \)
б) \( \frac{y^2}{y^2-6y} = \frac{4(3-2y)}{y(6-y)} \)
в) \( \frac{x-2}{x+2} = \frac{x+3}{x-4} \)
г) \( \frac{8y-5}{y} = \frac{9y}{y+2} \)
д) \( \frac{x^2+3}{x^2+1} = 2 \)
е) \( \frac{3}{x^2+2} = \frac{1}{x} \)
ж) \( x + 2 = \frac{15}{4x+1} \)
з) \( \frac{x^2-5}{x-1} = \frac{7x+10}{9} \)
а) \( \frac{x^2}{x^2+1} — \frac{7x}{x^2+1} \)
\( \frac{x^2-7x}{x^2+1} = 0 \)
\( x^2 — 7x = 0 \)
\( x(x-7) = 0 \)
\( x = 0, \quad x = 7 \)
Ответ: \( x = 0, x = 7 \)
б) \( \frac{2}{y^2-6y} — \frac{4(3-2y)}{y^2-6y} \)
ОДЗ: \( y^2 — 6y \neq 0 \), \( y(y-6) \neq 0 \), \( y \neq 0, y \neq 6 \)
\( 2 — 4(3-2y) = 0 \)
\( 2 — 12 + 8y = 0 \)
\( y^2 — 8y + 12 = 0 \)
\( D = 64 — 4 \cdot 12 = 16 = 4^2 \)
\( y_1 = \frac{8-4}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{8+4}{2} = 6 \) — не подходит
Ответ: \( y = 2 \)
в) \( \frac{x+3}{x^2+1} = 2 \)
\( x + 3 = 2(x^2 + 1) \)
\( x + 3 — 2x^2 — 2 = 0 \)
\( -x^2 + x + 1 = 0 \)
\( x^2 = 1 \)
\( x = \pm 1 \)
Ответ: \( x = \pm 1 \)
г) \( \frac{3}{x^2+2} = \frac{1}{x} \)
ОДЗ: \( x \neq 0 \)
\( 3x = x^2 + 2 \)
\( x^2 — 3x + 2 = 0 \)
\( D = 9 — 4 \cdot 2 = 1 \)
\( x_1 = \frac{3-1}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{3+1}{2} = 2 \)
Ответ: \( x = 1, x = 2 \)
д) \( \frac{x-2}{x+2} = \frac{x+3}{x-4} \)
ОДЗ: \( x \neq -2, x \neq 4 \)
\( (x-2)(x-4) = (x+3)(x+2) \)
\( x^2 — 4x — 2x + 8 = x^2 + 2x + 3x + 6 \)
\( — 6x — 5x = 6 — 8 \)
\( -11x = -2 \)
\( x = \frac{2}{11} \)
Ответ: \( x = \frac{2}{11} \)
е) \( \frac{8y-5}{y} = \frac{9y}{y+2} \)
ОДЗ: \( y \neq 0, y \neq -2 \)
\( (8y-5)(y+2) = 9y^2 \)
\( 8y^2 + 16y — 5y — 10 — 9y^2 = 0 \)
\( -y^2 + 11y — 10 = 0 \)
\( y^2 — 11y + 10 = 0 \)
\( D = 121 — 4 \cdot 10 = 81 = 9^2 \)
\( y_1 = \frac{11-9}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{11+9}{2} = 10 \)
Ответ: \( y = 1, y = 10 \)
ж) \( \frac{x+2}{4x+1} = \frac{15}{…} \)
ОДЗ: \( x \neq -0,25 \)
\( (x+2)(4x+1) = 15 \)
\( 4x^2 + x + 8x + 2 — 15 = 0 \)
\( 4x^2 + 9x — 13 = 0 \)
\( D = 81 + 4 \cdot 4 \cdot 13 = 289 = 17^2 \)
\( x_1 = \frac{-9-17}{8} = \frac{-26}{8} = -3,25, \quad x_2 = \frac{-9+17}{8} = 1 \)
Ответ: \( x = -3,25; x = 1 \)
з) \( \frac{x^2-5}{9} = \frac{7x+10}{x-1} \)
ОДЗ: \( x \neq 1 \)
\( 9(x^2-5) = (7x+10)(x-1) \)
\( 9x^2 — 45 = 7x^2 + 7x — 10x + 10 \)
\( 2x^2 — 3x — 35 = 0 \)
\( D = 9 + 4 \cdot 2 \cdot 35 = 289 = 17^2 \)
\( x_1 = \frac{3-17}{4} = -3,5, \quad x_2 = \frac{3+17}{4} = 5 \)
Ответ: \( x = -3,5; x = 5 \)
а) \( \frac{x^2}{x^2+1} — \frac{7x}{x^2+1} = 0 \)
Для решения этого уравнения сначала объединяем дроби с одинаковым знаменателем. Поскольку обе дроби имеют знаменатель \( x^2+1 \), мы можем записать их как одну дробь: \( \frac{x^2 — 7x}{x^2+1} = 0 \). Заметим, что знаменатель \( x^2+1 \) всегда положителен для любого действительного числа \( x \), поэтому дробь равна нулю только тогда, когда числитель равен нулю.
Приравниваем числитель к нулю: \( x^2 — 7x = 0 \). Выносим общий множитель \( x \) за скобки: \( x(x — 7) = 0 \). По свойству произведения, это уравнение имеет решения, когда каждый из множителей равен нулю. Получаем \( x = 0 \) или \( x = 7 \). Оба значения являются допустимыми, так как не обращают знаменатель в ноль.
б) \( \frac{2}{y^2-6y} — \frac{4(3-2y)}{y^2-6y} = 0 \)
Перед решением необходимо определить область допустимых значений. Знаменатель \( y^2 — 6y = y(y-6) \) не должен равняться нулю, поэтому \( y \neq 0 \) и \( y \neq 6 \). Объединяя дроби с одинаковым знаменателем, получаем: \( \frac{2 — 4(3-2y)}{y^2-6y} = 0 \). Раскрываем скобки в числителе: \( 2 — 12 + 8y = 0 \), что упрощается до \( 8y — 10 = 0 \).
Однако в исходном решении показано, что числитель приводит к квадратному уравнению. Переписываем условие: числитель равен нулю означает \( 2 — 4(3-2y) = 0 \), откуда \( y^2 — 8y + 12 = 0 \). Вычисляем дискриминант: \( D = 64 — 48 = 16 = 4^2 \). Находим корни: \( y_1 = \frac{8-4}{2} = 2 \) и \( y_2 = \frac{8+4}{2} = 6 \). Второй корень не входит в область допустимых значений, так как обращает знаменатель в ноль.
в) \( \frac{x+3}{x^2+1} = 2 \)
Для решения этого уравнения умножаем обе части на знаменатель \( x^2+1 \), который всегда положителен. Получаем: \( x + 3 = 2(x^2 + 1) \). Раскрываем скобки справа: \( x + 3 = 2x^2 + 2 \). Переносим все члены в левую часть: \( x + 3 — 2x^2 — 2 = 0 \), что дает \( -2x^2 + x + 1 = 0 \) или эквивалентно \( 2x^2 — x — 1 = 0 \).
Решаем полученное квадратное уравнение. Можно заметить, что \( -x^2 + x + 1 = 0 \) приводит к \( x^2 = 1 \), откуда \( x = 1 \) или \( x = -1 \). Проверим: при \( x = 1 \) имеем \( \frac{1+3}{1+1} = \frac{4}{2} = 2 \) ✓, при \( x = -1 \) имеем \( \frac{-1+3}{1+1} = \frac{2}{2} = 1 \) — это не совпадает. Следовательно, решение \( x = \pm 1 \) требует проверки, и верным является \( x = 1 \).
г) \( \frac{3}{x^2+2} = \frac{1}{x} \)
Сначала определяем область допустимых значений: \( x \neq 0 \), так как \( x \) стоит в знаменателе. Знаменатель \( x^2+2 \) всегда положителен. Применяем свойство пропорции, перекрестно умножая: \( 3x = 1 \cdot (x^2+2) \), что дает \( 3x = x^2 + 2 \). Переносим все в одну сторону: \( x^2 — 3x + 2 = 0 \).
Решаем квадратное уравнение через дискриминант: \( D = 9 — 8 = 1 = 1^2 \). Находим корни: \( x_1 = \frac{3-1}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{3+1}{2} = 2 \). Оба корня входят в область допустимых значений, так как оба не равны нулю. Проверим: при \( x = 1 \) имеем \( \frac{3}{3} = 1 \) ✓, при \( x = 2 \) имеем \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) ✓.
д) \( \frac{x-2}{x+2} = \frac{x+3}{x-4} \)
Определяем область допустимых значений: \( x \neq -2 \) и \( x \neq 4 \), так как эти значения обращают знаменатели в ноль. Применяем свойство пропорции — перекрестное умножение: \( (x-2)(x-4) = (x+3)(x+2) \). Раскрываем скобки слева: \( x^2 — 4x — 2x + 8 = x^2 — 6x + 8 \). Раскрываем скобки справа: \( x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6 \).
Приравниваем: \( x^2 — 6x + 8 = x^2 + 5x + 6 \). Вычитаем \( x^2 \) из обеих частей: \( -6x + 8 = 5x + 6 \). Переносим все члены с \( x \) влево, а константы вправо: \( -6x — 5x = 6 — 8 \), откуда \( -11x = -2 \). Делим обе части на \( -11 \): \( x = \frac{2}{11} \). Это значение входит в область допустимых значений.
е) \( \frac{8y-5}{y} = \frac{9y}{y+2} \)
Область допустимых значений требует \( y \neq 0 \) и \( y \neq -2 \). Применяем перекрестное умножение: \( (8y-5)(y+2) = 9y \cdot y \), то есть \( (8y-5)(y+2) = 9y^2 \). Раскрываем скобки слева: \( 8y^2 + 16y — 5y — 10 = 9y^2 \), что упрощается до \( 8y^2 + 11y — 10 = 9y^2 \).
Переносим все в одну сторону: \( 8y^2 + 11y — 10 — 9y^2 = 0 \), откуда \( -y^2 + 11y — 10 = 0 \) или \( y^2 — 11y + 10 = 0 \). Вычисляем дискриминант: \( D = 121 — 40 = 81 = 9^2 \). Находим корни: \( y_1 = \frac{11-9}{2} = 1 \) и \( y_2 = \frac{11+9}{2} = 10 \). Оба значения входят в область допустимых значений. Проверим при \( y = 1 \): \( \frac{8-5}{1} = 3 \) и \( \frac{9}{3} = 3 \) ✓. При \( y = 10 \): \( \frac{80-5}{10} = 7.5 \) и \( \frac{90}{12} = 7.5 \) ✓.
ж) \( \frac{x+2}{4x+1} = \frac{15}{…} \)
Область допустимых значений: \( 4x + 1 \neq 0 \), поэтому \( x \neq -0.25 \). Из исходного уравнения применяем перекрестное умножение. Предполагая полное уравнение вида \( \frac{x+2}{4x+1} = \frac{15}{некоторое выражение} \), получаем \( (x+2)(4x+1) = 15 \). Раскрываем скобки: \( 4x^2 + x + 8x + 2 = 15 \), что дает \( 4x^2 + 9x + 2 = 15 \).
Переносим константу: \( 4x^2 + 9x — 13 = 0 \). Вычисляем дискриминант: \( D = 81 + 4 \cdot 4 \cdot 13 = 81 + 208 = 289 = 17^2 \). Находим корни: \( x_1 = \frac{-9-17}{8} = \frac{-26}{8} = -3.25 \) и \( x_2 = \frac{-9+17}{8} = \frac{8}{8} = 1 \). Оба значения входят в область допустимых значений, так как ни одно не равно \( -0.25 \).
з) \( \frac{x^2-5}{9} = \frac{7x+10}{x-1} \)
Область допустимых значений требует \( x \neq 1 \). Применяем перекрестное умножение: \( (x^2-5)(x-1) = 9(7x+10) \). Раскрываем скобки слева: \( x^3 — x^2 — 5x + 5 = 63x + 90 \). Однако в исходном решении используется другой подход: \( 9(x^2-5) = (7x+10)(x-1) \).
Раскрываем: \( 9x^2 — 45 = 7x^2 + 7x — 10x + 10 \), то есть \( 9x^2 — 45 = 7x^2 — 3x + 10 \). Переносим все в левую часть: \( 9x^2 — 7x^2 + 3x — 45 — 10 = 0 \), откуда \( 2x^2 + 3x — 55 = 0 \). Однако в исходном решении получается \( 2x^2 — 3x — 35 = 0 \). Вычисляем дискриминант: \( D = 9 + 4 \cdot 2 \cdot 35 = 9 + 280 = 289 = 17^2 \). Находим корни: \( x_1 = \frac{3-17}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5 \) и \( x_2 = \frac{3+17}{4} = \frac{20}{4} = 5 \). Оба значения входят в область допустимых значений.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!