Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 634 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Решите уравнение:
а) \( \frac{3x+1}{x+2} — \frac{x-1}{x-2} = 1 \)
б) \( \frac{2y-2}{y+3} + \frac{y+3}{y-3} = 5 \)
в) \( \frac{4}{9y^2-1} — \frac{4}{3y+1} = \frac{5}{1-3y} \)
г) \( \frac{4}{x+3} — \frac{5}{3-x} = \frac{1}{x-3} — 1 \)
д) \( \frac{3}{x-1} + \frac{4}{x-1} = \frac{5-x}{x^2} \)
е) \( \frac{3y-2}{y} — \frac{1}{y-2} = \frac{3y+4}{y^2-2y} \)
а) \( \frac{3x+1}{x+2} — \frac{x-1}{x-2} = 1 \), ОДЗ: \( x \neq \pm 2 \)
\( (3x+1)(x-2) — (x-1)(x+2) = x^2 — 4 \)
\( 3x^2 — 6x + x — 2 — x^2 — 2x + x + 2 = x^2 — 4 \)
\( x^2 — 6x + 4 = 0 \)
\( D = 36 — 4 \cdot 4 = 20 = 2\sqrt{5} \)
\( x_{1,2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} \)
Ответ: \( x = 3 \pm \sqrt{5} \)
б) \( \frac{2y-2}{y+3} + \frac{y+3}{y-3} = 5 \), ОДЗ: \( y \neq \pm 3 \)
\( (2y-2)(y-3) + (y+3)^2 = 5(y^2-9) \)
\( 2y^2 — 6y — 2y + 6 + y^2 + 6y + 9 = 5y^2 — 45 \)
\( -2y^2 — 2y + 60 = 0 \) \( | : (-2) \)
\( y^2 + y — 30 = 0 \)
\( D = 1 + 4 \cdot 30 = 121 = 11^2 \)
\( y_1 = \frac{-1-11}{2} = -6 \), \( y_2 = \frac{-1+11}{2} = 5 \)
Ответ: \( y = -6, y = 5 \)
в) \( \frac{4}{9y^2-1} + \frac{5}{3y+1} = \frac{1}{1-3y} \), ОДЗ: \( y \neq \pm \frac{1}{3} \)
\( \frac{4}{(3y-1)(3y+1)} + \frac{5}{3y+1} = \frac{-1}{3y-1} \)
\( 4 — 4(3y-1) = -5(3y+1) \)
\( 4 — 12y + 4 = -15y — 5 \)
\( 3y = -13 \)
\( y = -\frac{13}{3} \)
Ответ: \( y = -\frac{13}{3} \)
г) \( \frac{4}{x+3} + \frac{5}{x-3} = \frac{1}{x-3} \), ОДЗ: \( x \neq \pm 3 \)
\( 4(x-3) + 5(x+3) = (x+3) — (x^2-9) \)
\( 4x — 12 + 5x + 15 = x + 3 — x^2 + 9 \)
\( x^2 + 8x — 9 = 0 \)
\( D = 64 + 36 = 100 \)
\( x_1 = \frac{-8-10}{2} = -9 \), \( x_2 = \frac{-8+10}{2} = 1 \)
Ответ: \( x = -9, x = 1 \)
д) \( \frac{3}{x} + \frac{4}{x-1} = \frac{5-x}{x^2-x} \), ОДЗ: \( x \neq 0, x \neq 1 \)
\( 3(x-1) + 4x = 5 — x \)
\( 3x — 3 + 4x = 5 — x \)
\( 8x = 8 \)
\( x = 1 \) — не подходит
Ответ: корней нет
е) \( \frac{3y-2}{y} — \frac{1}{y-2} = \frac{3y+4}{y(y-2)} \), ОДЗ: \( y \neq 0, y \neq 2 \)
\( (3y-2)(y-2) — y = 3y + 4 \)
\( 3y^2 — 6y — 2y + 4 — y = 3y + 4 \)
\( 3y^2 — 12y = 0 \)
\( 3y(y-4) = 0 \)
\( y = 0 \) — не подходит, \( y = 4 \)
Ответ: \( y = 4 \)
а) \( \frac{3x+1}{x+2} — \frac{x-1}{x-2} = 1 \), ОДЗ: \( x \neq \pm 2 \)
Для решения этого уравнения необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \( (x+2)(x-2) \), поэтому умножаем первую дробь на \( (x-2) \), вторую на \( (x+2) \), а единицу на \( (x+2)(x-2) \). После приведения к общему знаменателю получаем: \( (3x+1)(x-2) — (x-1)(x+2) = (x+2)(x-2) \).
Раскроем скобки в левой части. Первое произведение: \( (3x+1)(x-2) = 3x^2 — 6x + x — 2 = 3x^2 — 5x — 2 \). Второе произведение: \( (x-1)(x+2) = x^2 + 2x — x — 2 = x^2 + x — 2 \). В правой части: \( (x+2)(x-2) = x^2 — 4 \). Подставляем: \( 3x^2 — 5x — 2 — (x^2 + x — 2) = x^2 — 4 \), что дает \( 3x^2 — 5x — 2 — x^2 — x + 2 = x^2 — 4 \).
Упрощаем: \( 2x^2 — 6x = x^2 — 4 \), откуда \( x^2 — 6x + 4 = 0 \). Вычисляем дискриминант: \( D = 36 — 16 = 20 = 4 \cdot 5 \), поэтому \( \sqrt{D} = 2\sqrt{5} \). Корни уравнения: \( x_{1,2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} \). Оба корня удовлетворяют ОДЗ, так как \( 3 + \sqrt{5} \approx 5,24 \) и \( 3 — \sqrt{5} \approx 0,76 \), оба отличны от \( \pm 2 \).
б) \( \frac{2y-2}{y+3} + \frac{y+3}{y-3} = 5 \), ОДЗ: \( y \neq \pm 3 \)
Приводим дроби к общему знаменателю \( (y+3)(y-3) \). Первую дробь умножаем на \( (y-3) \), вторую на \( (y+3) \), а пятерку на \( (y+3)(y-3) \). Получаем: \( (2y-2)(y-3) + (y+3)^2 = 5(y^2-9) \).
Раскроем скобки в левой части. Первое произведение: \( (2y-2)(y-3) = 2y^2 — 6y — 2y + 6 = 2y^2 — 8y + 6 \). Второе: \( (y+3)^2 = y^2 + 6y + 9 \). В правой части: \( 5(y^2-9) = 5y^2 — 45 \). Подставляем: \( 2y^2 — 8y + 6 + y^2 + 6y + 9 = 5y^2 — 45 \).
Упрощаем левую часть: \( 3y^2 — 2y + 15 = 5y^2 — 45 \), откуда \( -2y^2 — 2y + 60 = 0 \). Делим на \( -2 \): \( y^2 + y — 30 = 0 \). Дискриминант: \( D = 1 + 120 = 121 = 11^2 \). Корни: \( y_1 = \frac{-1-11}{2} = -6 \) и \( y_2 = \frac{-1+11}{2} = 5 \). Оба значения входят в ОДЗ.
в) \( \frac{4}{9y^2-1} + \frac{5}{3y+1} = \frac{1}{1-3y} \), ОДЗ: \( y \neq \pm \frac{1}{3} \)
Заметим, что \( 9y^2 — 1 = (3y-1)(3y+1) \) и \( 1 — 3y = -(3y-1) \). Переписываем уравнение: \( \frac{4}{(3y-1)(3y+1)} + \frac{5}{3y+1} = \frac{-1}{3y-1} \). Общий знаменатель — \( (3y-1)(3y+1) \). Первую дробь оставляем, вторую умножаем на \( (3y-1) \), третью на \( (3y+1) \).
Получаем: \( 4 + 5(3y-1) = -1 \cdot (3y+1) \). Раскроем скобки: \( 4 + 15y — 5 = -3y — 1 \), откуда \( 15y — 1 = -3y — 1 \). Упрощаем: \( 18y = 0 \), поэтому \( y = 0 \). Проверим: при \( y = 0 \) имеем \( \frac{4}{-1} + \frac{5}{1} = \frac{1}{1} \), то есть \( -4 + 5 = 1 \), что верно. Значение \( y = 0 \) входит в ОДЗ.
г) \( \frac{4}{x+3} + \frac{5}{x-3} = \frac{1}{x-3} \), ОДЗ: \( x \neq \pm 3 \)
Перенесем \( \frac{1}{x-3} \) в левую часть: \( \frac{4}{x+3} + \frac{5}{x-3} — \frac{1}{x-3} = 0 \). Упростим: \( \frac{4}{x+3} + \frac{4}{x-3} = 0 \), откуда \( \frac{4}{x+3} = -\frac{4}{x-3} \). Сокращаем на 4: \( \frac{1}{x+3} = -\frac{1}{x-3} \).
Перекрестно умножаем: \( x — 3 = -(x+3) \), откуда \( x — 3 = -x — 3 \), поэтому \( 2x = 0 \) и \( x = 0 \). Проверим: \( \frac{4}{3} + \frac{5}{-3} = \frac{4}{3} — \frac{5}{3} = -\frac{1}{3} \) и \( \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \), верно. Значение входит в ОДЗ. Однако, проверяя исходное уравнение более внимательно через общий знаменатель: \( 4(x-3) + 5(x+3) = (x+3) — (x^2-9) \), получаем \( 4x — 12 + 5x + 15 = x + 3 — x^2 + 9 \), откуда \( 9x + 3 = x + 12 — x^2 \), поэтому \( x^2 + 8x — 9 = 0 \).
Решаем квадратное уравнение: дискриминант \( D = 64 + 36 = 100 = 10^2 \). Корни: \( x_1 = \frac{-8-10}{2} = -9 \) и \( x_2 = \frac{-8+10}{2} = 1 \). Оба значения входят в ОДЗ.
д) \( \frac{3}{x} + \frac{4}{x-1} = \frac{5-x}{x^2-x} \), ОДЗ: \( x \neq 0, x \neq 1 \)
Заметим, что \( x^2 — x = x(x-1) \). Приводим к общему знаменателю \( x(x-1) \). Первую дробь умножаем на \( (x-1) \), вторую на \( x \), третью оставляем: \( 3(x-1) + 4x = 5 — x \).
Раскроем скобки: \( 3x — 3 + 4x = 5 — x \), откуда \( 7x — 3 = 5 — x \). Упрощаем: \( 8x = 8 \), поэтому \( x = 1 \). Однако \( x = 1 \) не входит в ОДЗ, так как обращает знаменатель в ноль. Следовательно, уравнение не имеет решений.
е) \( \frac{3y-2}{y} — \frac{1}{y-2} = \frac{3y+4}{y(y-2)} \), ОДЗ: \( y \neq 0, y \neq 2 \)
Общий знаменатель — \( y(y-2) \). Первую дробь умножаем на \( (y-2) \), вторую на \( y \), третью оставляем: \( (3y-2)(y-2) — y = 3y + 4 \).
Раскроем скобки: \( (3y-2)(y-2) = 3y^2 — 6y — 2y + 4 = 3y^2 — 8y + 4 \). Подставляем: \( 3y^2 — 8y + 4 — y = 3y + 4 \), откуда \( 3y^2 — 9y + 4 = 3y + 4 \). Упрощаем: \( 3y^2 — 12y = 0 \), откуда \( 3y(y-4) = 0 \). Получаем \( y = 0 \) или \( y = 4 \). Значение \( y = 0 \) не входит в ОДЗ, а \( y = 4 \) входит.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!