ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 635 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При каком значении \( x \):

а) значение функции \( y = \frac{2x-1}{x+6} \) равно \( 5 \); \( -3 \); \( 0 \); \( 2 \)

б) значение функции \( y = \frac{x^2+x-2}{x+3} \) равно \( -10 \); \( 0 \); \( -5 \)

а) \( y = \frac{2x-1}{x+6} \), ОДЗ: \( x \neq -6 \)

при \( y = 5 \):
\( 5 = \frac{2x-1}{x+6} \)
\( 5(x+6) = 2x — 1 \)
\( 5x + 30 — 2x = -1 \)
\( 3x = -31 \)
\( x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \)
Ответ: \( x = -10\frac{1}{3} \)

при \( y = 0 \):
\( 0 = \frac{2x-1}{x+6} \)
\( 0 = 2x — 1 \)
\( 2x = 1 \)
\( x = 0,5 \)
Ответ: \( x = 0,5 \)

при \( y = -3 \):
\( -3 = \frac{2x-1}{x+6} \)
\( -3(x+6) = 2x — 1 \)
\( -3x — 18 — 2x = -1 \)
\( -5x = 17 \)
\( x = -\frac{17}{5} = -3,4 \)
Ответ: \( x = -3,4 \)

при \( y = 2 \):
\( 2 = \frac{2x-1}{x+6} \)
\( 2(x+6) — 2x = -1 \)
\( 2x + 12 — 2x = -1 \)
\( 0x = -13 \)
Ответ: корней нет.

б) \( y = \frac{x^2+x-2}{x+3} \), ОДЗ: \( x \neq -3 \)

при \( y = -10 \):
\( -10 = \frac{x^2+x-2}{x+3} \)
\( -10(x+3) = x^2 + x — 2 \)
\( x^2 + x — 2 + 10x + 30 = 0 \)
\( x^2 + 11x + 28 = 0 \)
\( D = 121 — 4 \cdot 28 = 9 = 3^2 \)
\( x_1 = \frac{-11-3}{2} = -7 \), \( x_2 = \frac{-11+3}{2} = -4 \)
Ответ: \( x = -7, x = -4 \)

при \( y = -5 \):
\( -5 = \frac{x^2+x-2}{x+3} \)
\( -5(x+3) = x^2 + x — 2 \)
\( x^2 + x — 2 + 5x + 15 = 0 \)
\( x^2 + 6x + 13 = 0 \)
\( D = 36 — 4 \cdot 13 = 36 — 52 < 0 \) Ответ: корней нет. при \( y = 0 \): \( 0 = \frac{x^2+x-2}{x+3} \) \( x^2 + x - 2 = 0 \) \( D = 1 + 4 \cdot 2 = 9 = 3^2 \) \( x_1 = \frac{-1-3}{2} = -2 \), \( x_2 = \frac{-1+3}{2} = 1 \) Ответ: \( x = -2, x = 1 \)

а) \( y = \frac{2x-1}{x+6} \), ОДЗ: \( x \neq -6 \)

Для решения этой рациональной функции необходимо найти значения переменной \( x \) при различных значениях \( y \). Сначала устанавливаем область допустимых значений: знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x + 6 \neq 0 \), откуда \( x \neq -6 \). Это ограничение действует для всех случаев решения данной функции.

При \( y = 5 \) подставляем это значение в уравнение функции: \( 5 = \frac{2x-1}{x+6} \). Умножаем обе части уравнения на знаменатель \( (x+6) \), получая \( 5(x+6) = 2x — 1 \). Раскрываем скобки слева: \( 5x + 30 = 2x — 1 \). Переносим все члены с переменной в левую часть, а константы в правую: \( 5x — 2x = -1 — 30 \). Упрощаем: \( 3x = -31 \). Делим обе части на коэффициент при \( x \): \( x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \). Проверяем, что полученное значение не равно \( -6 \) (исключённому значению), и оно действительно отличается, поэтому решение верно.

При \( y = 0 \) подставляем в функцию: \( 0 = \frac{2x-1}{x+6} \). Дробь равна нулю только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравниваем числитель к нулю: \( 2x — 1 = 0 \). Решаем простое линейное уравнение: \( 2x = 1 \), откуда \( x = 0,5 \). Проверяем условие ОДЗ: \( 0,5 \neq -6 \), поэтому решение допустимо.

При \( y = -3 \) подставляем значение в исходное уравнение: \( -3 = \frac{2x-1}{x+6} \). Умножаем обе части на \( (x+6) \): \( -3(x+6) = 2x — 1 \). Раскрываем скобки: \( -3x — 18 = 2x — 1 \). Собираем переменные слева, константы справа: \( -3x — 2x = -1 + 18 \). Упрощаем: \( -5x = 17 \). Делим на коэффициент: \( x = -\frac{17}{5} = -3,4 \). Проверяем ОДЗ: \( -3,4 \neq -6 \), решение допустимо.

При \( y = 2 \) подставляем в функцию: \( 2 = \frac{2x-1}{x+6} \). Умножаем обе части на знаменатель: \( 2(x+6) = 2x — 1 \). Раскрываем скобки слева: \( 2x + 12 = 2x — 1 \). Переносим все члены с \( x \) в левую часть: \( 2x — 2x = -1 — 12 \). Получаем: \( 0x = -13 \), или \( 0 = -13 \). Это противоречие, которое означает, что уравнение не имеет решений. Геометрически это означает, что горизонтальная линия \( y = 2 \) не пересекает график функции.

б) \( y = \frac{x^2+x-2}{x+3} \), ОДЗ: \( x \neq -3 \)

Эта функция содержит квадратный трёхчлен в числителе, поэтому решение будет более сложным. Область допустимых значений определяется условием \( x + 3 \neq 0 \), откуда \( x \neq -3 \). При решении различных уравнений с этой функцией мы будем получать квадратные уравнения, которые решаются через дискриминант.

При \( y = -10 \) подставляем в функцию: \( -10 = \frac{x^2+x-2}{x+3} \). Умножаем обе части на \( (x+3) \): \( -10(x+3) = x^2 + x — 2 \). Раскрываем скобки: \( -10x — 30 = x^2 + x — 2 \). Переносим все в одну сторону: \( x^2 + x — 2 + 10x + 30 = 0 \). Приводим подобные члены: \( x^2 + 11x + 28 = 0 \). Вычисляем дискриминант: \( D = 11^2 — 4 \cdot 1 \cdot 28 = 121 — 112 = 9 = 3^2 \). Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных действительных корня. Применяем формулу корней: \( x_1 = \frac{-11 — 3}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \) и \( x_2 = \frac{-11 + 3}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \). Проверяем оба значения на соответствие ОДЗ: \( -7 \neq -3 \) и \( -4 \neq -3 \), поэтому оба решения допустимы.

При \( y = -5 \) подставляем в функцию: \( -5 = \frac{x^2+x-2}{x+3} \). Умножаем обе части на \( (x+3) \): \( -5(x+3) = x^2 + x — 2 \). Раскрываем скобки: \( -5x — 15 = x^2 + x — 2 \). Переносим все в левую часть: \( x^2 + x — 2 + 5x + 15 = 0 \). Приводим подобные: \( x^2 + 6x + 13 = 0 \). Вычисляем дискриминант: \( D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 13 = 36 — 52 = -16 \). Так как дискриминант отрицательный, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что горизонтальная линия \( y = -5 \) не пересекает график функции ни в одной точке.

При \( y = 0 \) подставляем в функцию: \( 0 = \frac{x^2+x-2}{x+3} \). Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравниваем числитель к нулю: \( x^2 + x — 2 = 0 \). Вычисляем дискриминант: \( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2 \). Применяем формулу корней: \( x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \) и \( x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \). Проверяем оба значения на соответствие ОДЗ: \( -2 \neq -3 \) и \( 1 \neq -3 \), поэтому оба решения допустимы. Эти точки называются нулями функции, так как в них функция принимает значение ноль.