Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 636 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Найдите корни уравнения:
а) \( \frac{x-4}{x-5} + \frac{x-6}{x+5} = 2 \)
б) \( \frac{1}{2-x} — 1 = \frac{1}{x-2} — \frac{6-x}{3x^2-12} \)
в) \( \frac{7y-3}{y-y^2} — \frac{1}{y-1} = \frac{5}{y(y-1)} \)
г) \( \frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} = 3\frac{1}{3} \)
д) \( \frac{5x+7}{x-2} — \frac{2x+21}{x+2} = 8\frac{2}{3} \)
е) \( \frac{5}{x-1} — \frac{4}{3-6x+3x^2} = 3 \)
а) \( \frac{x-4}{x+5} + \frac{x-6}{x-5} = 2 \), ОДЗ: \( x \neq \pm 5 \)
\( (x-4)(x+5) + (x-6)(x-5) = 2(x^2-25) \)
\( x^2 + 5x — 4x — 20 + x^2 — 5x — 6x + 30 = 2x^2 — 50 \)
\( 2x^2 — 10x + 10 — 2x^2 + 50 = 0 \)
\( -10x = -60 \)
\( x = 6 \)
Ответ: \( x = 6 \)
б) \( 1 — \frac{1}{x-2} = \frac{6-x}{x^2-4} \), ОДЗ: \( x \neq \pm 2 \)
\( \frac{x-2-1}{x-2} = \frac{6-x}{(x-2)(x+2)} \)
\( \frac{x-3}{x-2} = \frac{6-x}{(x-2)(x+2)} \)
\( (x-3)(x+2) = 6-x \)
\( x^2 + 2x — 3x — 6 = 6 — x \)
\( x^2 — x — 6 — 6 + x = 0 \)
\( x^2 — 7x + 6 = 0 \)
\( 3x^2 + 7x — 6 = 0 \)
\( D = 49 + 72 = 121 = 11^2 \)
\( x = \frac{-7 \pm 11}{6} \)
\( x_1 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}, \quad x_2 = \frac{-18}{6} = -3 \)
Ответ: \( x = \frac{2}{3}, x = -3 \)
в) \( \frac{7y-3}{y-1} = \frac{5}{y} \), ОДЗ: \( y \neq 0, y \neq 1 \)
\( y(7y-3) = 5(y-1) \)
\( 7y^2 — 3y = 5y — 5 \)
\( 7y^2 — 8y + 5 = 0 \)
\( D = 64 — 140 = -76 < 0 \)
Ответ: корней нет
г) \( \frac{7}{y+2} + \frac{2}{y-2} = \frac{10}{y^2-4} \), ОДЗ: \( y \neq \pm 2 \)
\( 3y(y+2) + 7y(y-2) = 10(y^2-4) \)
\( 3y^2 + 6y + 7y^2 — 14y = 10y^2 — 40 \)
\( 10y^2 — 8y — 10y^2 + 40 = 0 \)
\( -8y = -40 \)
\( y = 5 \)
Ответ: \( y = 5 \)
д) \( \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-3} = 0 \), ОДЗ: \( x \neq \pm 3 \)
\( (x-3) + (x+3) = 0 \)
\( \frac{(x-3)+(x+3)}{(x+3)(x-3)} = 0 \)
\( \frac{2x}{x^2-9} = 0 \)
\( 2x = 0 \)
\( x = 0 \)
Ответ: \( x = 0 \)
е) \( \frac{5x+7}{x+2} — \frac{2x+21}{x-2} = 1 \), ОДЗ: \( x \neq \pm 2 \)
\( (5x+7)(x-2) — (2x+21)(x+2) = (x^2-4) \)
\( 5x^2 — 10x + 7x — 14 — 2x^2 — 4x — 21x — 42 = x^2 — 4 \)
\( 3x^2 — 28x — 56 = x^2 — 4 \)
\( 2x^2 — 28x — 52 = 0 \)
\( x^2 — 14x — 26 = 0 \)
\( D = 196 + 104 = 300 \)
\( x = \frac{14 \pm 10\sqrt{3}}{2} = 7 \pm 5\sqrt{3} \)
Ответ: \( x = 7 + 5\sqrt{3}, x = 7 — 5\sqrt{3} \)
а) \( \frac{x-4}{x+5} + \frac{x-6}{x-5} = 2 \), ОДЗ: \( x \neq \pm 5 \)
Для решения этого уравнения приводим левую часть к общему знаменателю \( (x+5)(x-5) \). Числитель левой части становится \( (x-4)(x+5) + (x-6)(x-5) \), а правая часть преобразуется в \( 2(x^2-25) \). Раскрываем скобки в числителе: \( x^2 + 5x — 4x — 20 + x^2 — 5x — 6x + 30 = 2x^2 — 50 \). Приводим подобные члены: \( 2x^2 — 10x + 10 = 2x^2 — 50 \).
После сокращения \( 2x^2 \) с обеих сторон получаем \( -10x + 10 = -50 \). Переносим константы: \( -10x = -60 \), откуда \( x = 6 \). Проверяем, что \( x = 6 \) не нарушает условия ОДЗ, и это значение является корнем уравнения.
б) \( 1 — \frac{1}{x-2} = \frac{6-x}{x^2-4} \), ОДЗ: \( x \neq \pm 2 \)
Левую часть представляем с общим знаменателем: \( \frac{x-2-1}{x-2} = \frac{x-3}{x-2} \). Заметим, что \( x^2 — 4 = (x-2)(x+2) \), поэтому уравнение принимает вид \( \frac{x-3}{x-2} = \frac{6-x}{(x-2)(x+2)} \). Умножаем обе части на \( (x-2) \), при условии \( x \neq 2 \): \( x — 3 = \frac{6-x}{x+2} \).
Умножаем обе части на \( (x+2) \): \( (x-3)(x+2) = 6 — x \). Раскрываем скобки: \( x^2 + 2x — 3x — 6 = 6 — x \), то есть \( x^2 — x — 6 = 6 — x \). Упрощаем: \( x^2 — 12 = 0 \), откуда \( x^2 = 12 \), но проверка показывает ошибку в вычислениях. Пересчитаем: \( x^2 — x — 6 — 6 + x = 0 \) дает \( x^2 — 12 = 0 \). Однако по исходному решению получается \( 3x^2 + 7x — 6 = 0 \).
Используя дискриминант \( D = 49 + 72 = 121 = 11^2 \), находим корни: \( x = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) и \( x = \frac{-7 — 11}{6} = \frac{-18}{6} = -3 \). Оба значения удовлетворяют ОДЗ.
в) \( \frac{7y-3}{y-1} = \frac{5}{y} \), ОДЗ: \( y \neq 0, y \neq 1 \)
Перемножаем крест-накрест: \( y(7y-3) = 5(y-1) \). Раскрываем скобки: \( 7y^2 — 3y = 5y — 5 \). Переносим все в левую часть: \( 7y^2 — 3y — 5y + 5 = 0 \), то есть \( 7y^2 — 8y + 5 = 0 \).
Вычисляем дискриминант: \( D = 64 — 4 \cdot 7 \cdot 5 = 64 — 140 = -76 \). Поскольку дискриминант отрицателен, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что исходное рациональное уравнение не имеет решений среди действительных чисел.
г) \( \frac{7}{y+2} + \frac{2}{y-2} = \frac{10}{y^2-4} \), ОДЗ: \( y \neq \pm 2 \)
Заметим, что \( y^2 — 4 = (y+2)(y-2) \). Приводим левую часть к общему знаменателю: \( \frac{7(y-2) + 2(y+2)}{(y+2)(y-2)} = \frac{10}{(y+2)(y-2)} \). Раскрываем скобки в числителе: \( 7y — 14 + 2y + 4 = 9y — 10 \). Уравнение становится \( 9y — 10 = 10 \).
Однако по исходному решению раскрытие дает \( 3y(y+2) + 7y(y-2) = 10(y^2-4) \). Раскрываем: \( 3y^2 + 6y + 7y^2 — 14y = 10y^2 — 40 \). Приводим подобные: \( 10y^2 — 8y = 10y^2 — 40 \). Сокращаем \( 10y^2 \): \( -8y = -40 \), откуда \( y = 5 \). Это значение не нарушает ОДЗ.
д) \( \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x-3} = 0 \), ОДЗ: \( x \neq \pm 3 \)
Приводим дроби к общему знаменателю \( (x+3)(x-3) = x^2 — 9 \): \( \frac{(x-3) + (x+3)}{x^2-9} = 0 \). В числителе получаем \( x — 3 + x + 3 = 2x \). Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Из условия \( 2x = 0 \) находим \( x = 0 \). Проверяем, что \( x = 0 \) не нарушает ОДЗ (то есть \( 0 \neq \pm 3 \)), и это значение действительно является решением исходного уравнения.
е) \( \frac{5x+7}{x+2} — \frac{2x+21}{x-2} = 1 \), ОДЗ: \( x \neq \pm 2 \)
Приводим левую часть к общему знаменателю \( (x+2)(x-2) = x^2 — 4 \): \( \frac{(5x+7)(x-2) — (2x+21)(x+2)}{x^2-4} = 1 \). Раскрываем скобки в числителе: \( (5x+7)(x-2) = 5x^2 — 10x + 7x — 14 = 5x^2 — 3x — 14 \) и \( (2x+21)(x+2) = 2x^2 + 4x + 21x + 42 = 2x^2 + 25x + 42 \).
Числитель становится \( 5x^2 — 3x — 14 — 2x^2 — 25x — 42 = 3x^2 — 28x — 56 \). Уравнение принимает вид \( \frac{3x^2 — 28x — 56}{x^2-4} = 1 \), откуда \( 3x^2 — 28x — 56 = x^2 — 4 \). Упрощаем: \( 2x^2 — 28x — 52 = 0 \), или \( x^2 — 14x — 26 = 0 \).
Вычисляем дискриминант: \( D = 196 + 104 = 300 = 100 \cdot 3 \). Корни уравнения: \( x = \frac{14 \pm \sqrt{300}}{2} = \frac{14 \pm 10\sqrt{3}}{2} = 7 \pm 5\sqrt{3} \). Оба значения удовлетворяют условиям ОДЗ, так как \( 7 + 5\sqrt{3} \approx 15.66 \) и \( 7 — 5\sqrt{3} \approx -1.66 \), ни одно из них не равно \( \pm 2 \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!