Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 637 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Найдите значение переменной \( y \), при котором:
а) сумма дробей \( \frac{3y+9}{3y-1} \) и \( \frac{2y-13}{2y+5} \) равна \( 2 \)
б) разность дробей \( \frac{5y+4}{5y+4} \) и \( \frac{4-6y}{3y-1} \) равна \( 3 \)
в) сумма дробей \( \frac{y+1}{y-5} \) и \( \frac{10}{y+5} \) равна их произведению
г) разность дробей \( \frac{y-4}{y-4} \) и \( \frac{6}{y+2} \) равна их произведению
а) \( \frac{3y+9}{3y-1} + \frac{2y-13}{2y+5} = 2, \) ОДЗ: \( y \neq \frac{1}{3}, \) \( y \neq -2,5 \)
\( (3y+9)(2y+5) + (2y-13)(3y-1) = 2(3y-1)(2y+5) \)
\( 6y^2 + 15y + 18y + 45 + 6y^2 — 2y — 39y + 13 = 2(6y^2 + 15y — 2y — 5) \)
\( 12y^2 — 8y + 58 = 12y^2 + 26y — 10 \)
\( 26y + 8y = 58 + 10 \)
\( 34y = 68 \)
\( y = 2 \)
Ответ: \( y = 2. \)
б) \( \frac{5y+13}{5y+4} — \frac{4-6y}{3y-1} = 3, \) ОДЗ: \( y \neq -0,8, \) \( y \neq \frac{1}{3} \)
\( (5y+13)(3y-1) — (4-6y)(5y+4) = 3(5y+4)(3y-1) \)
\( 15y^2 — 5y + 39y — 13 — 20y — 16 + 30y^2 + 24y = 3(15y^2 — 5y + 12y — 4) \)
\( 45y^2 + 38y — 29 = 45y^2 + 21y — 12 \)
\( 38y — 21y = -12 + 29 \)
\( 17y = 17 \)
\( y = 1 \)
Ответ: \( y = 1. \)
в) \( \frac{y+1}{y-5} + \frac{10}{y+5} = \frac{y+1}{y-5} + \frac{10}{y+5}, \) ОДЗ: \( y \neq \pm 5 \)
\( (y+1)(y+5) + 10(y-5) = 10(y+1) \)
\( y^2 + 5y + y + 5 + 10y — 50 — 10y — 10 = 0 \)
\( y^2 + 6y — 55 = 0 \)
\( D = 36 + 4 \cdot 55 = 36 + 220 = 256 = 16^2 \)
\( y_1 = \frac{-6-16}{2} = \frac{-22}{2} = -11, \)
\( y_2 = \frac{-6+16}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) — не подходит.
Ответ: \( y = -11. \)
г) \( \frac{6}{y-4} — \frac{y}{y+2} = \frac{6}{y-4} — \frac{y}{y+2}, \) ОДЗ: \( y \neq 4, \) \( y \neq -2 \)
\( 6(y+2) — y(y-4) = 6y \)
\( 6y + 12 — y^2 + 4y — 6y = 0 \)
\( -y^2 + 4y + 12 = 0 \)
\( y^2 — 4y — 12 = 0 \)
\( D = 16 + 4 \cdot 12 = 16 + 48 = 64 = 8^2 \)
\( y_1 = \frac{4-8}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \) — не подходит,
\( y_2 = \frac{4+8}{2} = \frac{12}{2} = 6. \)
Ответ: \( y = 6. \)
а) \( \frac{3y+9}{3y-1} + \frac{2y-13}{2y+5} = 2, \) ОДЗ: \( y \neq \frac{1}{3}, \) \( y \neq -2,5 \)
Для решения этого уравнения необходимо привести дроби к общему знаменателю. Умножим обе части уравнения на произведение знаменателей \( (3y-1)(2y+5) \), чтобы избавиться от дробей. Левая часть уравнения преобразуется следующим образом: первая дробь умножится на \( (2y+5) \), вторая дробь умножится на \( (3y-1) \), а правая часть умножится на весь знаменатель. Получаем: \( (3y+9)(2y+5) + (2y-13)(3y-1) = 2(3y-1)(2y+5) \)
Раскроем скобки в левой части. Первое произведение: \( (3y+9)(2y+5) = 6y^2 + 15y + 18y + 45 = 6y^2 + 33y + 45 \). Второе произведение: \( (2y-13)(3y-1) = 6y^2 — 2y — 39y + 13 = 6y^2 — 41y + 13 \). Сложим их: \( 6y^2 + 33y + 45 + 6y^2 — 41y + 13 = 12y^2 — 8y + 58 \). В правой части раскроем скобки: \( 2(3y-1)(2y+5) = 2(6y^2 + 15y — 2y — 5) = 2(6y^2 + 13y — 5) =\) \(= 12y^2 + 26y — 10 \)
Теперь приравняем полученные выражения: \( 12y^2 — 8y + 58 = 12y^2 + 26y — 10 \). Перенесём все члены с \( y^2 \) в одну сторону — они сокращаются. Остаётся: \( -8y + 58 = 26y — 10 \). Перенесём члены с переменной в левую часть, а числа в правую: \( -8y — 26y = -10 — 58 \), откуда \( -34y = -68 \), следовательно \( y = 2 \). Проверим, что это значение не нарушает ОДЗ: при \( y = 2 \) знаменатели не равны нулю, поэтому решение допустимо.
б) \( \frac{5y+13}{5y+4} — \frac{4-6y}{3y-1} = 3, \) ОДЗ: \( y \neq -0,8, \) \( y \neq \frac{1}{3} \)
Приведём дроби к общему знаменателю, умножив обе части на \( (5y+4)(3y-1) \). Первая дробь умножится на \( (3y-1) \), вторая на \( (5y+4) \), а правая часть на весь знаменатель: \( (5y+13)(3y-1) — (4-6y)(5y+4) = 3(5y+4)(3y-1) \)
Раскроем скобки в левой части. Первое произведение: \( (5y+13)(3y-1) = 15y^2 — 5y + 39y — 13 = 15y^2 + 34y — 13 \). Второе произведение: \( (4-6y)(5y+4) = 20y + 16 — 30y^2 — 24y = -30y^2 — 4y + 16 \). При вычитании второго из первого получаем: \( 15y^2 + 34y — 13 — (-30y^2 — 4y + 16) = 15y^2 + 34y — 13 + 30y^2 +\) \(+ 4y — 16 = 45y^2 + 38y — 29 \). В правой части: \( 3(5y+4)(3y-1) = 3(15y^2 — 5y + 12y — 4) = 3(15y^2 + 7y — 4) =\) \(= 45y^2 + 21y — 12 \)
Приравняем: \( 45y^2 + 38y — 29 = 45y^2 + 21y — 12 \). Члены с \( y^2 \) сокращаются. Получаем: \( 38y — 29 = 21y — 12 \). Перенесём переменные в левую часть, числа в правую: \( 38y — 21y = -12 + 29 \), откуда \( 17y = 17 \), следовательно \( y = 1 \). Проверим ОДЗ: при \( y = 1 \) оба знаменателя ненулевые, решение допустимо.
в) \( \frac{y+1}{y-5} + \frac{10}{y+5} = \frac{y+1}{y-5} + \frac{10}{y+5}, \) ОДЗ: \( y \neq \pm 5 \)
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \( (y-5)(y+5) \). Первая дробь в левой части умножится на \( (y+5) \), вторая на \( (y-5) \), а правая часть на весь знаменатель: \( (y+1)(y+5) + 10(y-5) = 10(y+1) \)
Раскроем скобки. Первое произведение: \( (y+1)(y+5) = y^2 + 5y + y + 5 = y^2 + 6y + 5 \). Второе слагаемое: \( 10(y-5) = 10y — 50 \). Сложим: \( y^2 + 6y + 5 + 10y — 50 = y^2 + 16y — 45 \). Правая часть: \( 10(y+1) = 10y + 10 \). Получаем уравнение: \( y^2 + 16y — 45 = 10y + 10 \)
Перенесём все в левую часть: \( y^2 + 16y — 45 — 10y — 10 = 0 \), откуда \( y^2 + 6y — 55 = 0 \). Вычислим дискриминант: \( D = 36 + 4 \cdot 55 = 36 + 220 = 256 = 16^2 \). Найдём корни: \( y_1 = \frac{-6-16}{2} = \frac{-22}{2} = -11 \) и \( y_2 = \frac{-6+16}{2} = \frac{10}{2} = 5 \). Второй корень не подходит, так как \( y = 5 \) нарушает ОДЗ (обращает знаменатель в нуль). Поэтому единственное решение — \( y = -11 \)
г) \( \frac{6}{y-4} — \frac{y}{y+2} = \frac{6}{y-4} — \frac{y}{y+2}, \) ОДЗ: \( y \neq 4, \) \( y \neq -2 \)
Умножим обе части на общий знаменатель \( (y-4)(y+2) \). Первая дробь умножится на \( (y+2) \), вторая на \( (y-4) \), правая часть на весь знаменатель: \( 6(y+2) — y(y-4) = 6y \)
Раскроем скобки в левой части. Первое произведение: \( 6(y+2) = 6y + 12 \). Второе произведение: \( y(y-4) = y^2 — 4y \). Вычтем: \( 6y + 12 — y^2 + 4y = 12 + 10y — y^2 \). Получаем уравнение: \( 12 + 10y — y^2 = 6y \)
Перенесём все в левую часть: \( 12 + 10y — y^2 — 6y = 0 \), откуда \( -y^2 + 4y + 12 = 0 \). Умножим на \( -1 \): \( y^2 — 4y — 12 = 0 \). Вычислим дискриминант: \( D = 16 + 4 \cdot 12 = 16 + 48 = 64 = 8^2 \). Найдём корни: \( y_1 = \frac{4-8}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \) и \( y_2 = \frac{4+8}{2} = \frac{12}{2} = 6 \). Первый корень не подходит, так как \( y = -2 \) нарушает ОДЗ. Единственное решение — \( y = 6 \)
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!