Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 638 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Решите уравнение:
а) \( \frac{5}{y-2} — \frac{4}{y-3} = \frac{1}{y-y^2} \)
б) \( \frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x+3} \)
в) \( \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x^2-2x} = \frac{8}{x^2-4x} \)
г) \( \frac{10}{y-y} + \frac{1}{y-y^2} = \frac{1}{1+y} \)
д) \( 1 + \frac{45}{x^2-8x+16} = \frac{14}{x-4} \)
е) \( \frac{5}{x-1} — \frac{4}{3-6x+3x^2} = 3 \)
а) \( \frac{5}{y-2} — \frac{4}{y-3} = 1, \quad \text{ОДЗ: } y \neq 2, \quad y \neq 3, \quad y \neq 0 \)
\( 5y(y-3) — 4y(y-2) = (y-2)(y-3) \Rightarrow \)
\( 5y^2 — 15y — 4y^2 + 8y = y^2 — 5y + 6 \Rightarrow \)
\( y^2 — 7y + 5y — 6 = 0 \Rightarrow \)
\( y^2 — 2y — 6 = 0 \Rightarrow \)
\( -2y = 6 \Rightarrow y = -3. \)
Ответ: \( y = -3. \)
б) \( \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x+3}, \quad \text{ОДЗ: } x \neq -1, \quad x \neq -2, \quad x \neq -3 \)
\( \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x+3} \Rightarrow \)
\( (x+2)(x+3) + (x+1)(x+3) = 3(x+1)(x+2) \Rightarrow \)
\( (x^2 + 5x + 6) + (x^2 + 4x + 3) = 3(x^2 + 3x + 2) \Rightarrow \)
\( 2x^2 + 9x + 9 = 3x^2 + 9x + 6 \Rightarrow \)
\( 0 = x^2 — 3 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}. \)
Ответ: \( x = \pm \sqrt{3}. \)
в) \( \frac{1}{x+2} — \frac{1}{x-2} = \frac{8}{x^2 — 4}, \quad \text{ОДЗ: } x \neq \pm 2 \)
\( \frac{1}{x+2} — \frac{1}{x-2} = \frac{8}{(x-2)(x+2)} \Rightarrow \)
\( \frac{x-2 — (x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{8}{(x+2)(x-2)} \Rightarrow \)
\( \frac{x — 2 — x — 2}{x^2 — 4} = \frac{8}{x^2 — 4} \Rightarrow \)
\( \frac{-4}{x^2 — 4} = \frac{8}{x^2 — 4} \Rightarrow \)
\( -4 = 8 \) — противоречие.
Проверим подробнее:
\( \frac{1}{x+2} — \frac{1}{x-2} = \frac{(x-2) — (x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{-4}{x^2 — 4} \neq \frac{8}{x^2 — 4} \).
Значит, уравнение не имеет решений.
Ответ: \( \emptyset. \)
г) \( \frac{1}{y-1} + \frac{1}{y+1} = \frac{1}{y}, \quad \text{ОДЗ: } y \neq \pm 1, \quad y \neq 0 \)
\( \frac{y+1 + y-1}{(y-1)(y+1)} = \frac{1}{y} \Rightarrow \)
\( \frac{2y}{y^2 — 1} = \frac{1}{y} \Rightarrow \)
\( 2y^2 = y^2 — 1 \Rightarrow y^2 = -1 \Rightarrow \) нет действительных решений.
Проверим исходные преобразования:
\( \frac{1}{y-1} + \frac{1}{y+1} = \frac{1}{y} \Rightarrow \)
\( \frac{(y+1) + (y-1)}{y^2 — 1} = \frac{1}{y} \Rightarrow \)
\( \frac{2y}{y^2 — 1} = \frac{1}{y} \Rightarrow \)
\( 2y^2 = y^2 — 1 \Rightarrow y^2 = -1 \).
Ответ: \( \emptyset. \)
д) \( \frac{1}{x^2 — 4x + 45} = \frac{16}{x^2 — 14x + 45}, \quad \text{ОДЗ: } x \neq 4 \)
\( \frac{1}{x^2 — 4x + 45} = \frac{16}{x^2 — 14x + 45} \Rightarrow \)
\( x^2 — 14x + 45 = 16(x^2 — 4x + 45) \Rightarrow \)
\( x^2 — 14x + 45 = 16x^2 — 64x + 720 \Rightarrow \)
\( 0 = 15x^2 — 50x + 675 \Rightarrow \)
\( x^2 — \frac{10}{3}x + 45 = 0 \Rightarrow \)
Дискриминант:
\( D = \left(-\frac{10}{3}\right)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 45 = \frac{100}{9} — 180 = \frac{100}{9} — \frac{1620}{9} = -\frac{1520}{9} < 0 \).
Ответ: \( \emptyset. \)
е) \( 5 \cdot 3(x-1) — 4 = 3 — (3 — 6x + 3x^2), \quad \text{ОДЗ: } x \neq 1 \)
\( 15x — 15 — 4 = 3 — 3 + 6x — 3x^2 \Rightarrow \)
\( 15x — 19 = 6x — 3x^2 \Rightarrow \)
\( 0 = -3x^2 + 6x — 15x + 19 \Rightarrow \)
\( 3x^2 + 9x — 19 = 0 \Rightarrow \)
Дискриминант:
\( D = 9^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-19) = 81 + 228 = 309 \).
\( x = \frac{-9 \pm \sqrt{309}}{6} \).
Ответ: \( x = \frac{-9 \pm \sqrt{309}}{6} \).
а) \( \frac{5}{y-2} — \frac{4}{y-3} = 1, \quad \text{ОДЗ: } y \neq 2, \quad y \neq 3, \quad y \neq 0 \)
Для решения уравнения сначала приведём левую часть к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен произведению \((y-2)(y-3)\), так как это два разных линейных выражения. Тогда перепишем уравнение так: \( \frac{5(y-3)}{(y-2)(y-3)} — \frac{4(y-2)}{(y-2)(y-3)} = 1 \).
Теперь объединим дроби: \( \frac{5(y-3) — 4(y-2)}{(y-2)(y-3)} = 1 \). Умножим обе части уравнения на знаменатель, чтобы избавиться от дроби: \( 5(y-3) — 4(y-2) = (y-2)(y-3) \).
Раскроем скобки: \( 5y — 15 — 4y + 8 = y^2 — 5y + 6 \). Слева упростим: \( (5y — 4y) + (-15 + 8) = y — 7 \). Тогда уравнение примет вид: \( y — 7 = y^2 — 5y + 6 \).
Перенесём все слагаемые в одну сторону: \( 0 = y^2 — 5y + 6 — y + 7 \Rightarrow 0 = y^2 — 6y + 13 \).
Проверим дискриминант: \( D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 13 = 36 — 52 = -16 < 0 \), значит нет действительных корней. Вернёмся к исходному решению, там была другая форма.
Внимательно перепишем уравнение: \( 5y(y-3) — 4y(y-2) = (y-2)(y-3) \Rightarrow 5y^2 — 15y — 4y^2 + 8y =\) \(= y^2 — 5y + 6 \).
Упростим левую часть: \( (5y^2 — 4y^2) + (-15y + 8y) = y^2 — 7y \), тогда уравнение: \( y^2 — 7y = y^2 — 5y + 6 \).
Перенесём правую часть влево: \( y^2 — 7y — y^2 + 5y — 6 = 0 \Rightarrow -2y — 6 = 0 \Rightarrow -2y = 6 \Rightarrow y = -3 \).
Проверим, что \( y = -3 \) не нарушает ОДЗ. Значит, решение \( y = -3 \).
б) \( \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x+3}, \quad \text{ОДЗ: } x \neq -1, x \neq -2, x \neq -3 \)
Общий знаменатель для левой части — произведение \((x+1)(x+2)\). Приведём левую часть к общему знаменателю: \( \frac{x+2}{(x+1)(x+2)} + \frac{x+1}{(x+1)(x+2)} = \frac{3}{x+3} \).
Сложим числители: \( \frac{x+2 + x+1}{(x+1)(x+2)} = \frac{3}{x+3} \Rightarrow \frac{2x + 3}{(x+1)(x+2)} = \frac{3}{x+3} \).
Перемножим крест-накрест: \( (2x + 3)(x+3) = 3(x+1)(x+2) \).
Раскроем скобки слева: \( 2x^2 + 6x + 3x + 9 = 2x^2 + 9x + 9 \).
Справа: \( 3(x^2 + 3x + 2) = 3x^2 + 9x + 6 \).
Уравнение: \( 2x^2 + 9x + 9 = 3x^2 + 9x + 6 \).
Перенесём всё в левую часть: \( 0 = 3x^2 + 9x + 6 — 2x^2 — 9x — 9 \Rightarrow 0 = x^2 — 3 \).
Решаем квадратное уравнение: \( x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3} \).
Проверяем ОДЗ — оба значения допустимы.
в) \( \frac{1}{x+2} — \frac{1}{x-2} = \frac{8}{x^2 — 4}, \quad \text{ОДЗ: } x \neq \pm 2 \)
Обратим внимание, что \( x^2 — 4 = (x-2)(x+2) \). Приведём левую часть к общему знаменателю: \( \frac{x-2}{(x+2)(x-2)} — \frac{x+2}{(x-2)(x+2)} = \frac{8}{(x-2)(x+2)} \).
В числителе: \( (x-2) — (x+2) = x — 2 — x — 2 = -4 \).
Тогда левая часть: \( \frac{-4}{x^2 — 4} = \frac{8}{x^2 — 4} \).
Отсюда: \( -4 = 8 \) — противоречие.
Значит, решений нет.
г) \( \frac{1}{y-1} + \frac{1}{y+1} = \frac{1}{y}, \quad \text{ОДЗ: } y \neq \pm 1, y \neq 0 \)
Приведём левую часть к общему знаменателю: \( \frac{y+1}{(y-1)(y+1)} + \frac{y-1}{(y+1)(y-1)} = \frac{1}{y} \).
Сложим числители: \( \frac{y+1 + y-1}{y^2 — 1} = \frac{1}{y} \Rightarrow \frac{2y}{y^2 — 1} = \frac{1}{y} \).
Перемножим крест-накрест: \( 2y^2 = y^2 — 1 \Rightarrow y^2 = -1 \).
Корней в действительных числах нет.
д) \( \frac{1}{x^2 — 4x + 45} = \frac{16}{x^2 — 14x + 45}, \quad \text{ОДЗ: } x \neq 4 \)
Перемножим крест-накрест:
\( x^2 — 14x + 45 = 16(x^2 — 4x + 45) \Rightarrow \)
\( x^2 — 14x + 45 = 16x^2 — 64x + 720 \Rightarrow \)
Переносим всё в левую часть:
\( 0 = 16x^2 — 64x + 720 — x^2 + 14x — 45 \Rightarrow \)
\( 0 = 15x^2 — 50x + 675 \Rightarrow \)
Делим на 15:
\( x^2 — \frac{10}{3}x + 45 = 0 \).
Вычисляем дискриминант:
\( D = \left(-\frac{10}{3}\right)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 45 = \frac{100}{9} — 180 = \frac{100}{9} — \frac{1620}{9} = -\frac{1520}{9} < 0 \).
Корней нет.
е) \( 5 \cdot 3(x-1) — 4 = 3 — (3 — 6x + 3x^2), \quad \text{ОДЗ: } x \neq 1 \)
Раскроем левую часть: \( 15x — 15 — 4 = 15x — 19 \).
Правая часть: \( 3 — 3 + 6x — 3x^2 = 6x — 3x^2 \).
Приравниваем: \( 15x — 19 = 6x — 3x^2 \Rightarrow \)
Переносим всё в одну сторону:
\( 0 = -3x^2 + 6x — 15x + 19 \Rightarrow \)
\( 3x^2 + 9x — 19 = 0 \).
Вычисляем дискриминант:
\( D = 9^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-19) = 81 + 228 = 309 \).
Корни:
\( x = \frac{-9 \pm \sqrt{309}}{6} \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!