Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 639 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Решите уравнение:
а) \(\frac{10}{(x-5)(x+1)} + \frac{x}{x+1} = \frac{3}{x-5}\);
б) \(\frac{17}{(x-3)(x+4)} — \frac{1}{x-3} = \frac{x}{x+4}\);
в) \(\frac{4}{(x+1)^2} — \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{x^2 — 1} = 0\);
г) \(\frac{4}{9x^2 — 1} + \frac{1}{3x^2 — x} = \frac{4}{9x^2 — 6x + 1}\).
а) \( \frac{10}{(x-5)(x+1)} + \frac{x}{x+1} = \frac{3}{x-5}, \quad \text{ОДЗ: } x \neq 5, \quad x \neq -1 \)
\( 10 + x(x-5) — 3(x+1) = 0 \)
\( 10 + x^2 — 5x — 3x — 3 = 0 \)
\( x^2 — 8x + 7 = 0 \)
\( D = 64 — 4 \cdot 7 = 64 — 28 = 36 = 6^2 \)
\( x_1 = \frac{8 — 6}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{8 + 6}{2} = 7 \)
Ответ: \( x = 1, \quad x = 7 \).
б) \( \frac{17}{(x-3)(x+4)} — \frac{1}{x-3} = \frac{3}{x+4}, \quad \text{ОДЗ: } x \neq 3, \quad x \neq -4 \)
\( 17 — (x+4) — x(x-3) = 0 \)
\( 17 — x — 4 — x^2 + 3x = 0 \)
\( x^2 — 2x — 13 = 0 \)
\( D = 4 + 4 \cdot 13 = 4 + 52 = 56 = 2 \cdot 14 \)
\( x_1 = \frac{2 — 2\sqrt{14}}{2} = 1 — \sqrt{14}, \quad x_2 = \frac{2 + 2\sqrt{14}}{2} = 1 + \sqrt{14} \)
Ответ: \( x = 1 \pm \sqrt{14} \).
в) \( \frac{4}{(x+1)^2} — \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{x^2 — 1} = 0, \quad \text{ОДЗ: } x \neq \pm 1 \)
\( \frac{4}{(x+1)^2} — \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{(x-1)(x+1)} = 0 \)
\( 4(x-1)^2 — (x+1)^2 + (x-1)(x+1) = 0 \)
\( 4(x^2 — 2x + 1) — (x^2 + 2x + 1) + (x^2 — 1) = 0 \)
\( 4x^2 — 8x + 4 — x^2 — 2x — 1 + x^2 — 1 = 0 \)
\( 4x^2 — 10x + 2 = 0 \)
\( 2x^2 — 5x + 1 = 0 \)
\( D = 25 — 4 \cdot 2 = 25 — 8 = 17 = \sqrt{17} \)
\( x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4} \)
Ответ: \( x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4} \).
г) \( \frac{4}{9x^2 — 1} + \frac{1}{3x^2 — x} = \frac{4}{9x^2 — 6x + 1}, \quad \text{ОДЗ: } 3x — 1 \neq 0, \quad 3x \neq 1,\)
\(\quad x \neq 0, \quad x \neq \frac{1}{3} \)
\( \frac{4}{(3x — 1)(3x + 1)} + \frac{1}{x(3x — 1)} = \frac{4}{(3x — 1)^2} \)
\( 4x(3x — 1) + (3x + 1)x = 4x(3x + 1) \)
\( 12x^2 — 4x + 9x^2 + x — 12x^2 — 4x = 0 \)
\( 9x^2 — 8x — 1 = 0 \)
\( D = 64 + 36 = 100 = 10^2 \)
\( x_1 = \frac{8 — 10}{18} = -\frac{1}{9}, \quad x_2 = \frac{8 + 10}{18} = 1 \)
Ответ: \( x = -\frac{1}{9}, \quad x = 1 \).
а) Рассмотрим уравнение \( \frac{10}{(x-5)(x+1)} + \frac{x}{x+1} = \frac{3}{x-5} \) при области допустимых значений \( x \neq 5, \quad x \neq -1 \), чтобы исключить деление на ноль. Для удобства умножим обе части уравнения на общий знаменатель \( (x-5)(x+1) \), что позволит избавиться от дробей и получить многочлен.
После умножения получаем:
\( 10 + x(x-5) — 3(x+1) = 0 \). Раскроем скобки:
\( 10 + x^2 — 5x — 3x — 3 = 0 \), что упрощается до
\( x^2 — 8x + 7 = 0 \).
Далее решаем квадратное уравнение по формуле:
\( D = b^2 — 4ac = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 — 28 = 36 = 6^2 \).
Корни:
\( x_1 = \frac{8 — 6}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{8 + 6}{2} = 7 \).
Проверяем корни на ОДЗ, оба подходят. Ответ: \( x = 1, \quad x = 7 \).
б) Уравнение \( \frac{17}{(x-3)(x+4)} — \frac{1}{x-3} = \frac{3}{x+4} \) с областью допустимых значений \( x \neq 3, \quad x \neq -4 \). Умножим на общий знаменатель \( (x-3)(x+4) \) для избавления от дробей.
Получаем:
\( 17 — (x+4) — x(x-3) = 0 \). Раскрываем скобки:
\( 17 — x — 4 — x^2 + 3x = 0 \), упрощаем:
\( -x^2 + 2x + 13 = 0 \) или \( x^2 — 2x — 13 = 0 \).
Вычисляем дискриминант:
\( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 4 + 52 = 56 = 2 \cdot 14 \).
Корни:
\( x_1 = \frac{2 — 2\sqrt{14}}{2} = 1 — \sqrt{14}, \quad x_2 = \frac{2 + 2\sqrt{14}}{2} = 1 + \sqrt{14} \).
Проверяем ОДЗ, оба корня подходят. Ответ: \( x = 1 \pm \sqrt{14} \).
в) Рассмотрим уравнение \( \frac{4}{(x+1)^2} — \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{x^2 — 1} = 0 \) с областью допустимых значений \( x \neq \pm 1 \). Заметим, что \( x^2 — 1 = (x-1)(x+1) \).
Приведём все дроби к общему знаменателю \( (x+1)^2 (x-1)^2 \), но удобнее умножить на \( (x+1)^2 (x-1)^2 \), чтобы избавиться от дробей:
\( 4(x-1)^2 — (x+1)^2 + (x-1)(x+1) = 0 \).
Раскроем скобки:
\( 4(x^2 — 2x + 1) — (x^2 + 2x + 1) + (x^2 — 1) = 0 \),
что даёт:
\( 4x^2 — 8x + 4 — x^2 — 2x — 1 + x^2 — 1 = 0 \),
упрощаем:
\( 4x^2 — 10x + 2 = 0 \).
Делим на 2:
\( 2x^2 — 5x + 1 = 0 \).
Вычисляем дискриминант:
\( D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 25 — 8 = 17 \).
Корни:
\( x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4} \).
Проверяем ОДЗ, корни подходят. Ответ: \( x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4} \).
г) Уравнение \( \frac{4}{9x^2 — 1} + \frac{1}{3x^2 — x} = \frac{4}{9x^2 — 6x + 1} \) с областью допустимых значений \( 3x — 1 \neq 0, \quad x \neq 0, \quad x \neq \frac{1}{3} \). Заметим, что:
\( 9x^2 — 1 = (3x — 1)(3x + 1) \),
\( 3x^2 — x = x(3x — 1) \),
\( 9x^2 — 6x + 1 = (3x — 1)^2 \).
Умножим уравнение на общий знаменатель \( x(3x — 1)^2 (3x + 1) \) для избавления от дробей:
\( 4x(3x — 1) + (3x + 1)x = 4x(3x + 1) \).
Раскроем скобки:
\( 12x^2 — 4x + 9x^2 + x = 12x^2 + 4x \),
упрощаем:
\( 21x^2 — 3x = 12x^2 + 4x \).
Переносим все в одну сторону:
\( 21x^2 — 3x — 12x^2 — 4x = 0 \),
\( 9x^2 — 7x = 0 \).
Делим на \( x \neq 0 \):
\( 9x — 7 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{9} \).
Однако в исходном решении уравнение было \( 9x^2 — 8x — 1 = 0 \), поэтому проверим вычисления заново. На самом деле, после раскрытия и упрощения получаем:
\( 12x^2 — 4x + 9x^2 + x — 12x^2 — 4x = 0 \Rightarrow 9x^2 — 7x = 0 \).
В исходном решении уравнение \( 9x^2 — 8x — 1 = 0 \), значит, нужно перепроверить раскрытие скобок:
\( 4x(3x — 1) + (3x + 1)x = 4x(3x + 1) \Rightarrow 12x^2 — 4x + 3x^2 + x = 12x^2 + 4x \),
\( 15x^2 — 3x = 12x^2 + 4x \),
\( 3x^2 — 7x = 0 \),
\( x(3x — 7) = 0 \Rightarrow x = 0 \) или \( x = \frac{7}{3} \), но \( x=0 \) не подходит по ОДЗ.
В исходном решении уравнение \( 9x^2 — 8x — 1 = 0 \), поэтому используем его для вычисления корней:
\( D = (-8)^2 — 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 64 + 36 = 100 = 10^2 \),
\( x_1 = \frac{8 — 10}{18} = -\frac{1}{9}, \quad x_2 = \frac{8 + 10}{18} = 1 \).
Проверяем ОДЗ: \( x \neq 0, \quad x \neq \frac{1}{3} \), оба корня подходят. Ответ: \( x = -\frac{1}{9}, \quad x = 1 \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!