Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 64 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Выполните действие:
а) \(\frac{10p}{p-q} + \frac{3p}{q-p};\)
б) \(\frac{5a}{a-b} + \frac{5b}{b-a};\)
в) \(\frac{x-3}{x-1} — \frac{2}{1-x};\)
г) \(\frac{a}{2a-b} + \frac{3a-b}{b-2a};\)
д) \(\frac{a}{a^2-9} + \frac{3}{9 — a^2};\)
е) \(\frac{y^2}{y-1} + \frac{1}{1-y}.\)
а) \(\frac{10p}{p-q} — \frac{3p}{q-p} = \frac{10p}{p-q} + \frac{3p}{p-q} = \frac{10p + 3p}{p-q} = \frac{13p}{p-q}\)
б) \(\frac{5a}{a-b} + \frac{5b}{b-a} = \frac{5a}{a-b} — \frac{5b}{a-b} = \frac{5(a-b)}{a-b} = 5\)
в) \(\frac{x-3}{x-1} — \frac{2}{1-x} = \frac{x-3}{x-1} + \frac{2}{x-1} = \frac{x-3+2}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} = 1\)
г) \(\frac{a}{2a-b} — \frac{3a-b}{b-2a} = \frac{a}{2a-b} + \frac{3a-b}{2a-b} = \frac{a + 3a — b}{2a-b} = \frac{4a — b}{2a-b}\)
\(\frac{4a — b}{2a-b} = \frac{-(2a — b)}{2a — b} = -1\)
д) \(\frac{3}{a^2 — 9} — \frac{a}{a^2 — 9} = \frac{3 — a}{a^2 — 9} = \frac{3 — a}{(a-3)(a+3)} = \frac{-(a-3)}{(a-3)(a+3)} = -\frac{1}{a+3}\)
е) \(\frac{y^2}{y-1} — \frac{1}{y-1} = \frac{y^2 — 1}{y-1} = \frac{(y-1)(y+1)}{y-1} = y + 1\)
а) В этом выражении мы складываем две дроби с разными знаменателями: \(\frac{10p}{p-q}\) и \(-\frac{3p}{q-p}\). Обратите внимание, что знаменатели связаны знаком минус: \(q-p = -(p-q)\). Значит, дробь \(-\frac{3p}{q-p}\) можно переписать как \(\frac{3p}{p-q}\), так как минус в знаменателе изменит знак числителя. После этого у нас одинаковые знаменатели \(p-q\), что позволяет просто сложить числители: \(10p + 3p = 13p\). В итоге получаем выражение \(\frac{13p}{p-q}\).
Таким образом, ключевой шаг — привести дроби к общему знаменателю, используя свойства отрицания в знаменателе, а затем сложить числители. Это упрощает выражение и позволяет получить итоговый результат без сложных преобразований.
б) Здесь даны две дроби: \(\frac{5a}{a-b}\) и \(\frac{5b}{b-a}\). Заметим, что знаменатели \(a-b\) и \(b-a\) отличаются знаком, так как \(b-a = -(a-b)\). Следовательно, \(\frac{5b}{b-a} = -\frac{5b}{a-b}\). Теперь обе дроби имеют общий знаменатель \(a-b\), и их можно сложить: \(\frac{5a}{a-b} — \frac{5b}{a-b} = \frac{5a — 5b}{a-b}\). В числителе вынесем общий множитель 5: \(5(a-b)\). Тогда дробь упрощается до \(\frac{5(a-b)}{a-b}\). Так как \(a-b \neq 0\), сокращаем числитель и знаменатель, получая ответ 5.
Главное здесь — заметить связь между знаменателями и использовать отрицание для приведения к общему знаменателю, что упрощает вычисления и сокращение.
в) В выражении \(\frac{x-3}{x-1} — \frac{2}{1-x}\) знаменатели выглядят разными, но \(1-x = -(x-1)\). Значит, \(\frac{2}{1-x} = -\frac{2}{x-1}\). Тогда выражение становится \(\frac{x-3}{x-1} + \frac{2}{x-1}\), где дроби имеют общий знаменатель \(x-1\). Складываем числители: \(x-3 + 2 = x-1\). Итоговая дробь \(\frac{x-1}{x-1}\) равна 1 при условии, что \(x \neq 1\).
Здесь важно правильно преобразовать знаменатель второй дроби, чтобы привести к общему знаменателю и упростить выражение.
г) Рассмотрим выражение \(\frac{a}{2a-b} — \frac{3a-b}{b-2a}\). Знаменатели связаны знаком минус, так как \(b-2a = -(2a-b)\). Значит, \(\frac{3a-b}{b-2a} = -\frac{3a-b}{2a-b}\). Тогда исходное выражение переписывается как \(\frac{a}{2a-b} + \frac{-(3a-b)}{2a-b} = \frac{a — (3a — b)}{2a-b}\).
В числителе раскрываем скобки: \(a — 3a + b = -2a + b\). Получается дробь \(\frac{-2a + b}{2a — b}\). Заметим, что числитель равен \(-(2a — b)\), поэтому дробь равна \(\frac{-(2a — b)}{2a — b} = -1\), при условии, что знаменатель не равен нулю.
Ключевой момент — привести дроби к общему знаменателю, раскрыть скобки и упростить числитель, затем сократить дробь.
д) Выражение \(\frac{3}{a^2 — 9} — \frac{a}{a^2 — 9}\) имеет одинаковый знаменатель \(a^2 — 9\). Вычитаем числители: \(3 — a\). Записываем дробь \(\frac{3 — a}{a^2 — 9}\).
Заметим, что \(a^2 — 9 = (a-3)(a+3)\). Числитель \(3 — a\) можно переписать как \(-(a — 3)\). Тогда дробь становится \(\frac{-(a — 3)}{(a — 3)(a + 3)}\).
Сокращаем общий множитель \(a — 3\) в числителе и знаменателе, получая \(-\frac{1}{a + 3}\), при условии, что \(a \neq 3\).
Здесь важно разложить знаменатель на множители и переписать числитель так, чтобы сократить дробь.
е) В выражении \(\frac{y^2}{y-1} — \frac{1}{y-1}\) знаменатели одинаковы, значит можно вычесть числители: \(y^2 — 1\). Получаем дробь \(\frac{y^2 — 1}{y-1}\).
Числитель \(y^2 — 1\) — разность квадратов, раскладывается как \((y-1)(y+1)\). Тогда дробь равна \(\frac{(y-1)(y+1)}{y-1}\).
Сокращаем общий множитель \(y-1\), получая \(y + 1\), при условии, что \(y \neq 1\).
Здесь ключевым шагом является распознавание формулы разности квадратов и сокращение дроби.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!