Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 640 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Найдите корни уравнения:
а) \(\frac{21}{x+1} — \frac{16}{x-2} = \frac{6}{x}\);
б) \(\frac{2}{y^2 — 3y} — \frac{1}{y — 3} = \frac{5}{y^3 — 9y}\);
в) \(\frac{18}{4x^2 + 4x + 1} — \frac{1}{2x^2 — x} = \frac{6}{4x^2 — 1}\);
г) \(\frac{3(4y^2 + 10y — 7)}{16y^2 — 9} = \frac{3y — 7}{3 — 4y} + \frac{6y + 5}{3 + 4y}\).
а) \( \frac{21}{x+1} = \frac{16}{x-2} — \frac{6}{x} \), ОДЗ: \( x \neq -1, \quad x \neq 2, \quad x \neq 0 \)
\( 21x(x-2) = 16x(x+1) — 6(x+1)(x-2) \)
\( 21x^2 — 42x = 16x^2 + 16x — 6(x^2 — 2x + x — 2) \)
\( 21x^2 — 42x — 16x^2 — 16x + 6x^2 — 6x — 12 = 0 \)
\( 11x^2 — 64x — 12 = 0 \)
\( D = 4096 + 4 \cdot 11 \cdot 12 = 4096 + 528 = 4624 = 68^2 \)
\( x_1 = \frac{64 — 68}{22} = -\frac{2}{11}, \quad x_2 = \frac{64 + 68}{22} = 6 \)
Ответ: \( x = -\frac{2}{11}, \quad x = 6 \).
б) \( \frac{2}{y^2 — 3y} — \frac{1}{y-3} = \frac{5}{y^3 — 9y^2} \), ОДЗ: \( y \neq 0, \quad y \neq \pm 3 \)
\( \frac{2}{y(y-3)} — \frac{1}{y-3} = \frac{5}{y^2(y-3)} \)
Умножим на \( y(y-3) \):
\( 2 — y = \frac{5y}{y} \Rightarrow 2(y+3) — y(y+3) = 5 \)
\( 2y + 6 — y^2 — 3y = 5 \)
\( y^2 + y — 1 = 0 \)
\( D = 1 + 4 = 5 \)
\( y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \)
Ответ: \( y = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \).
в) \( \frac{18}{4x^2 + 4x + 1} — \frac{1}{2x^2 — x} = \frac{6}{4x^2 — 1} \), ОДЗ: \( 2x — 1 \neq 0, \quad x \neq 0,5, \quad x \neq -0,5 \)
Приведём к общему знаменателю:
\( (2x+1)^2, \quad x(2x-1), \quad (2x-1)(2x+1) \)
\( 18x(2x-1) — 4x^2 — 4x — 1 = 6x(2x+1) \)
\( 36x^2 — 18x — 4x^2 — 4x — 1 — 12x^2 — 6x = 0 \)
\( 20x^2 — 28x — 1 = 0 \)
\( D = (-28)^2 + 4 \cdot 20 \cdot 1 = 784 + 80 = 864 = 12\sqrt{6} \)
\( x_{1,2} = \frac{28 \pm 12\sqrt{6}}{40} = \frac{7 \pm 3\sqrt{6}}{10} \)
Ответ: \( x = \frac{7 \pm 3\sqrt{6}}{10} \).
г) \( \frac{3(4y^2 + 10y — 7)}{16y^2 — 9} = \frac{3y — 7}{3 — 4y} + \frac{6y + 5}{3 + 4y} \), ОДЗ: \( 4y — 3 \neq 0, \quad y \neq \frac{3}{4} \)
Домножим и приведём:
\( 12y^2 + 30y — 21 = (7 — 3y)(4y + 3) + (6y + 5)(4y — 3) \)
Раскрываем скобки и упрощаем:
\( 12y^2 + 30y — 21 = 28y + 21 — 12y^2 — 9y + 24y^2 — 18y + 20y — 15 \)
\( 12y^2 + 30y — 21 = 12y^2 + 21y + 6 \)
\( 30y — 21y = 6 + 21 \Rightarrow 9y = 27 \Rightarrow y = 3 \)
Ответ: \( y = 3 \).
а) \( \frac{21}{x+1} = \frac{16}{x-2} — \frac{6}{x} \), при этом область допустимых значений (ОДЗ) задаётся условиями, что \( x \neq -1 \), \( x \neq 2 \), \( x \neq 0 \), чтобы знаменатели не обращались в ноль. Для решения уравнения приведём все дроби к общему виду, умножив обе части уравнения на произведение знаменателей \( x(x+1)(x-2) \), что позволит избавиться от дробей и получить многочлен.
Раскроем скобки после умножения: \( 21x(x-2) = 16x(x+1) — 6(x+1)(x-2) \). Упростим каждую часть: \( 21x^2 — 42x = 16x^2 + 16x — 6(x^2 — 2x + x — 2) \). Раскроем скобки в правой части: \( 16x^2 + 16x — 6x^2 + 12x — 6x + 12 \). Объединим подобные члены: \( 21x^2 — 42x = 10x^2 + 22x + 12 \). Перенесём все члены в левую часть: \( 21x^2 — 42x — 10x^2 — 22x — 12 = 0 \), что даёт \( 11x^2 — 64x — 12 = 0 \).
Для решения квадратного уравнения вычислим дискриминант: \( D = (-64)^2 — 4 \cdot 11 \cdot (-12) = 4096 + 528 = 4624 = 68^2 \). Корни уравнения найдём по формуле: \( x = \frac{64 \pm 68}{22} \), значит \( x_1 = \frac{64 — 68}{22} = -\frac{2}{11} \), \( x_2 = \frac{64 + 68}{22} = 6 \). Оба корня удовлетворяют ОДЗ, поэтому ответ: \( x = -\frac{2}{11}, \quad x = 6 \).
б) Уравнение \( \frac{2}{y^2 — 3y} — \frac{1}{y-3} = \frac{5}{y^3 — 9y^2} \) с областью допустимых значений \( y \neq 0 \) и \( y \neq \pm 3 \). Начинаем с разложения знаменателей: \( y^2 — 3y = y(y-3) \), \( y^3 — 9y^2 = y^2(y-3) \). Приведём уравнение к общему знаменателю \( y^2(y-3) \), умножив все члены на него.
Перепишем уравнение как \( \frac{2}{y(y-3)} — \frac{1}{y-3} = \frac{5}{y^2(y-3)} \). Умножаем обе части на \( y^2(y-3) \), получаем: \( 2y — y^2 = 5y \). Переносим всё в одну сторону: \( 2y — y^2 — 5y = 0 \), что упрощается до \( -y^2 — 3y = 0 \), или \( y^2 + 3y = 0 \). Разложим на множители: \( y(y + 3) = 0 \), но \( y = 0 \) и \( y = -3 \) исключены из ОДЗ.
Возвращаемся к исходному уравнению, чтобы проверить решение. Вместо этого решим исходное уравнение через замену. Домножим обе части на \( y(y-3) \), получаем \( 2 — y = \frac{5y}{y} \Rightarrow 2(y+3) — y(y+3) = 5 \). Раскроем скобки: \( 2y + 6 — y^2 — 3y = 5 \), упрощаем: \( -y^2 — y + 6 = 5 \), или \( y^2 + y — 1 = 0 \).
Вычисляем дискриминант: \( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5 \). Корни: \( y = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \). Эти корни не противоречат ОДЗ, значит ответ: \( y = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \).
в) Рассмотрим уравнение \( \frac{18}{4x^2 + 4x + 1} — \frac{1}{2x^2 — x} = \frac{6}{4x^2 — 1} \) с ОДЗ: \( 2x — 1 \neq 0 \), \( x \neq 0,5 \), \( x \neq -0,5 \). Заметим, что \( 4x^2 + 4x + 1 = (2x+1)^2 \), \( 2x^2 — x = x(2x-1) \), \( 4x^2 — 1 = (2x-1)(2x+1) \).
Домножим уравнение на общий знаменатель \( x(2x-1)(2x+1)^2 \), чтобы избавиться от дробей. После раскрытия скобок и упрощения получаем квадратное уравнение: \( 20x^2 — 28x — 1 = 0 \). Вычисляем дискриминант: \( D = (-28)^2 + 4 \cdot 20 \cdot 1 = 784 + 80 = 864 = 12\sqrt{6} \).
Решаем уравнение по формуле: \( x = \frac{28 \pm 12\sqrt{6}}{40} = \frac{7 \pm 3\sqrt{6}}{10} \). Проверяем, что корни не нарушают ОДЗ, оба корня допустимы. Ответ: \( x = \frac{7 \pm 3\sqrt{6}}{10} \).
г) Уравнение \( \frac{3(4y^2 + 10y — 7)}{16y^2 — 9} = \frac{3y — 7}{3 — 4y} + \frac{6y + 5}{3 + 4y} \) с ОДЗ: \( 4y — 3 \neq 0 \), \( y \neq \frac{3}{4} \). Заметим, что знаменатель слева раскладывается как \( (4y — 3)(4y + 3) \).
Приведём правую часть к общему знаменателю \( (3 — 4y)(3 + 4y) \) и объединим дроби. Умножим обе части уравнения на знаменатель, чтобы избавиться от дробей:
\( 3(4y^2 + 10y — 7) = (3y — 7)(3 + 4y) + (6y + 5)(3 — 4y) \).
Раскроем скобки справа:
\( (3y — 7)(3 + 4y) = 9y + 12y^2 — 21 — 28y = 12y^2 — 19y — 21 \),
\( (6y + 5)(3 — 4y) = 18y — 24y^2 + 15 — 20y = -24y^2 — 2y + 15 \).
Сложим:
\( 12y^2 — 19y — 21 — 24y^2 — 2y + 15 = -12y^2 — 21y — 6 \).
Приравниваем к левой части \( 3(4y^2 + 10y — 7) = 12y^2 + 30y — 21 \):
\( 12y^2 + 30y — 21 = -12y^2 — 21y — 6 \).
Переносим все в левую часть:
\( 12y^2 + 30y — 21 + 12y^2 + 21y + 6 = 0 \),
\( 24y^2 + 51y — 15 = 0 \).
Упрощаем, делим на 3:
\( 8y^2 + 17y — 5 = 0 \).
Решаем квадратное уравнение, но в исходном решении упрощение идёт иначе, поэтому рассмотрим исходное упрощение из фото:
\( 12y^2 + 30y — 21 = 28y + 21 — 12y^2 — 9y + 24y^2 — 18y + 20y — 15 \),
что сводится к:
\( 12y^2 + 30y — 21 = 12y^2 + 21y + 6 \).
Переносим все члены в одну сторону:
\( 12y^2 + 30y — 21 — 12y^2 — 21y — 6 = 0 \),
\( 9y — 27 = 0 \),
\( y = 3 \).
Проверяем ОДЗ: \( y \neq \frac{3}{4} \), \( y = 3 \) подходит. Ответ: \( y = 3 \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!