ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 641 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

(Для работы в парах.) Решите уравнение:

а) \(1 + \frac{1}{3 + \frac{1}{2 + \frac{1}{5 — x^2}}} = 1 \frac{7}{24}\);

б) \(1 — \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{10 — x^2}}} = \frac{3}{5}\).

1) Обсудите, какие преобразования и в какой последовательности надо выполнить, чтобы найти корни уравнения.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли решено уравнение.

\(а) \quad 1 + \frac{1}{3 + \frac{1}{2 + \frac{5}{1 — x^2}}} = 1 \frac{7}{24}\)

\(1) \quad 2 + \frac{1}{5 — x^2} = \frac{2(5 — x^2) + 1}{5 — x^2} = \frac{10 — 2x^2 + 1}{5 — x^2} = \frac{11 — 2x^2}{5 — x^2}\)

\(2) \quad 1 : \frac{11 — 2x^2}{5 — x^2} = \frac{5 — x^2}{11 — 2x^2}\)

\(3) \quad 3 + \frac{5 — x^2}{11 — 2x^2} = \frac{3(11 — 2x^2) + 5 — x^2}{11 — 2x^2} = \frac{33 — 6x^2 + 5 — x^2}{11 — 2x^2} = \frac{38 — 7x^2}{11 — 2x^2}\)

\(4) \quad 1 : \frac{38 — 7x^2}{11 — 2x^2} = \frac{11 — 2x^2}{38 — 7x^2}\)

\(5) \quad 1 + \frac{11 — 2x^2}{38 — 7x^2} = \frac{38 — 7x^2 + 11 — 2x^2}{38 — 7x^2} = \frac{49 — 9x^2}{38 — 7x^2}\)

\(6) \quad \frac{49 — 9x^2}{38 — 7x^2} = 1 \frac{7}{24} = \frac{31}{24}\)

ОДЗ: \(7x^2 \neq 38, \quad x^2 \neq \frac{38}{7}, \quad x \neq \pm \sqrt{\frac{38}{7}}\)

\(\frac{49 — 9x^2}{38 — 7x^2} = \frac{31}{24}\)

\(24(49 — 9x^2) = 31(38 — 7x^2)\)

\(1176 — 216x^2 = 1178 — 217x^2\)

\(-216x^2 + 217x^2 = 1178 — 1176\)

\(x^2 = 2\)

\(x = \pm \sqrt{2}\)

Ответ: \(x = \pm \sqrt{2}\)

\(б) \quad 1 — \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{10 — x^2}}} = \frac{3}{5}\)

\(1) \quad 1 + \frac{1}{10 — x^2} = \frac{10 — x^2 + 1}{10 — x^2} = \frac{11 — x^2}{10 — x^2}\)

\(2) \quad 1 : \frac{11 — x^2}{10 — x^2} = \frac{10 — x^2}{11 — x^2}\)

\(3) \quad 2 + \frac{10 — x^2}{11 — x^2} = \frac{2(11 — x^2) + 10 — x^2}{11 — x^2} = \frac{22 — 2x^2 + 10 — x^2}{11 — x^2} = \frac{32 — 3x^2}{11 — x^2}\)

\(4) \quad 1 : \frac{32 — 3x^2}{11 — x^2} = \frac{11 — x^2}{32 — 3x^2}\)

\(5) \quad 1 — \frac{11 — x^2}{32 — 3x^2} = \frac{32 — 3x^2 — 11 + x^2}{32 — 3x^2} = \frac{21 — 2x^2}{32 — 3x^2}\)

\(6) \quad \frac{21 — 2x^2}{32 — 3x^2} = \frac{3}{5}\)

ОДЗ: \(3x^2 \neq 32, \quad x^2 \neq \frac{32}{3}, \quad x \neq \pm \sqrt{\frac{32}{3}}\)

\(5(21 — 2x^2) = 3(32 — 3x^2)\)

\(105 — 10x^2 = 96 — 9x^2\)

\(-10x^2 + 9x^2 = 96 — 105\)

\(-x^2 = -9\)

\(x^2 = 9\)

\(x = \pm 3\)

Ответ: \(x = \pm 3\)

а) \(1 + \frac{1}{3 + \frac{1}{2 + \frac{5}{1 — x^2}}} = 1 \frac{7}{24}\)

Для начала упростим выражение внутри самой глубокой дроби. Рассмотрим знаменатель вложенной дроби: \(2 + \frac{5}{1 — x^2}\). Приведём это к общему знаменателю, чтобы получить одну дробь. Это будет \(\frac{2(1 — x^2) + 5}{1 — x^2} = \frac{2 — 2x^2 + 5}{1 — x^2} = \frac{7 — 2x^2}{1 — x^2}\). Теперь исходное выражение в знаменателе выглядит как \(3 + \frac{1}{\frac{7 — 2x^2}{1 — x^2}} = 3 + \frac{1 — x^2}{7 — 2x^2}\).

Следующий шаг — привести к общему знаменателю сумму \(3 + \frac{1 — x^2}{7 — 2x^2}\). Запишем это как \(\frac{3(7 — 2x^2) + (1 — x^2)}{7 — 2x^2} = \frac{21 — 6x^2 + 1 — x^2}{7 — 2x^2} = \frac{22 — 7x^2}{7 — 2x^2}\).

Теперь исходное выражение принимает вид \(1 + \frac{1}{\frac{22 — 7x^2}{7 — 2x^2}} = 1 + \frac{7 — 2x^2}{22 — 7x^2}\). Приведём сумму к одной дроби: \(\frac{22 — 7x^2}{22 — 7x^2} + \frac{7 — 2x^2}{22 — 7x^2} = \frac{29 — 9x^2}{22 — 7x^2}\).

Далее приравниваем полученную дробь к \(1 \frac{7}{24} = \frac{31}{24}\) и решаем уравнение \(\frac{29 — 9x^2}{22 — 7x^2} = \frac{31}{24}\).

Перемножаем крест-накрест: \(24(29 — 9x^2) = 31(22 — 7x^2)\), что даёт \(696 — 216x^2 = 682 — 217x^2\). Переносим все в одну сторону: \(696 — 216x^2 — 682 + 217x^2 = 0\), упрощаем до \(14 + x^2 = 0\).

Отсюда \(x^2 = -14\), что невозможно для действительных чисел, значит, в исходном решении была допущена ошибка. Вернёмся к исходному решению из фото и выполним шаги согласно ему.

В исходном решении дробь \(2 + \frac{1}{5 — x^2}\) преобразуется в \(\frac{11 — 2x^2}{5 — x^2}\), затем \(1 : \frac{11 — 2x^2}{5 — x^2} = \frac{5 — x^2}{11 — 2x^2}\). Далее \(3 + \frac{5 — x^2}{11 — 2x^2} = \frac{38 — 7x^2}{11 — 2x^2}\). Следующий шаг — \(1 : \frac{38 — 7x^2}{11 — 2x^2} = \frac{11 — 2x^2}{38 — 7x^2}\). Затем \(1 + \frac{11 — 2x^2}{38 — 7x^2} = \frac{49 — 9x^2}{38 — 7x^2}\).

Приравниваем \(\frac{49 — 9x^2}{38 — 7x^2} = 1 \frac{7}{24} = \frac{31}{24}\).

Перемножаем: \(24(49 — 9x^2) = 31(38 — 7x^2)\), что даёт \(1176 — 216x^2 = 1178 — 217x^2\).

Переносим: \(-216x^2 + 217x^2 = 1178 — 1176\), упрощаем до \(x^2 = 2\).

Проверяем область допустимых значений (ОДЗ), чтобы знаменатели не были равны нулю: \(7x^2 \neq 38\), \(x^2 \neq \frac{38}{7}\), \(x \neq \pm \sqrt{\frac{38}{7}}\).

Так как \(x^2 = 2\) не нарушает ОДЗ, окончательный ответ: \(x = \pm \sqrt{2}\).

б) \(1 — \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{10 — x^2}}} = \frac{3}{5}\)

Начинаем с внутренней дроби: \(1 + \frac{1}{10 — x^2} = \frac{10 — x^2 + 1}{10 — x^2} = \frac{11 — x^2}{10 — x^2}\).

Делим 1 на эту дробь: \(1 : \frac{11 — x^2}{10 — x^2} = \frac{10 — x^2}{11 — x^2}\).

Прибавляем 2: \(2 + \frac{10 — x^2}{11 — x^2} = \frac{2(11 — x^2) + 10 — x^2}{11 — x^2} = \frac{22 — 2x^2 + 10 — x^2}{11 — x^2} = \frac{32 — 3x^2}{11 — x^2}\).

Делим 1 на эту дробь: \(1 : \frac{32 — 3x^2}{11 — x^2} = \frac{11 — x^2}{32 — 3x^2}\).

Вычитаем из 1: \(1 — \frac{11 — x^2}{32 — 3x^2} = \frac{32 — 3x^2 — 11 + x^2}{32 — 3x^2} = \frac{21 — 2x^2}{32 — 3x^2}\).

Приравниваем к \(\frac{3}{5}\): \(\frac{21 — 2x^2}{32 — 3x^2} = \frac{3}{5}\).

Перемножаем: \(5(21 — 2x^2) = 3(32 — 3x^2)\), получаем \(105 — 10x^2 = 96 — 9x^2\).

Переносим: \(-10x^2 + 9x^2 = 96 — 105\), упрощаем до \(-x^2 = -9\).

Отсюда \(x^2 = 9\), значит \(x = \pm 3\).

Проверяем область допустимых значений: \(3x^2 \neq 32\), \(x^2 \neq \frac{32}{3}\), \(x \neq \pm \sqrt{\frac{32}{3}}\).

Так как \(x^2 = 9\) не нарушает ОДЗ, ответ корректен: \(x = \pm 3\).