ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 642 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите графически уравнение:

а) \(\frac{6}{x} = x\);

б) \(\frac{6}{x} = -x + 6\).

\( a) \quad \frac{6}{x} = x \)
\( y = \frac{6}{x}, \quad y = x \)
\( \Rightarrow 6 = x^2 \)
\( \Rightarrow x = \pm 2,4. \)

Ответ: \( x = \pm 2,4. \)

\( б) \quad \frac{6}{x} = -x + 6 \)
\( y = \frac{6}{x}, \quad y = -x + 6 \)
\( \Rightarrow 6 = -x^2 + 6x \)
\( \Rightarrow x^2 — 6x + 6 = 0 \)
\( \Rightarrow x = \frac{6 \pm \sqrt{36 — 24}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3} \)
\( \Rightarrow x_1 = 1,3; \quad x_2 = 4,7. \)

Ответ: \( x = 1,3; \quad x = 4,7. \)

а) \( \frac{6}{x} = x \)

Для решения уравнения сначала умножим обе части на \( x \), чтобы избавиться от знаменателя:
\( 6 = x \cdot x \)
\( \Rightarrow 6 = x^2 \).

Теперь у нас простое квадратное уравнение. Чтобы найти \( x \), извлечём квадратный корень:
\( x = \pm \sqrt{6} \).

Приблизительно \( \sqrt{6} \approx 2,4 \), поэтому \( x = \pm 2,4 \).

Так как \( x \neq 0 \) (деление на ноль невозможно), оба решения подходят. Графически это видно на пересечении гиперболы \( y = \frac{6}{x} \) и прямой \( y = x \), где точки пересечения имеют координаты \( x = \pm 2,4 \).

б) \( \frac{6}{x} = -x + 6 \)

Снова умножаем обе части уравнения на \( x \), чтобы избавиться от дроби:
\( 6 = (-x + 6) \cdot x \)
\( \Rightarrow 6 = -x^2 + 6x \).

Переносим все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\( x^2 — 6x + 6 = 0 \).

Решаем квадратное уравнение по формуле корней:
\( x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 — 24}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} \).

Упростим корень:
\( \sqrt{12} = 2 \sqrt{3} \), значит
\( x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3} \).

Приблизительно:
\( x_1 = 3 — 1,7 = 1,3 \),
\( x_2 = 3 + 1,7 = 4,7 \).

Проверяем, что \( x \neq 0 \), и оба корня подходят. Графически точки пересечения кривой \( y = \frac{6}{x} \) и прямой \( y = -x + 6 \) соответствуют найденным значениям \( x \).