ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 643 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь уравнение \(\frac{1}{x} = ax + b\), где \(a\) и \(b\) — некоторые числа. Для каждого случая укажите, каким условиям должны удовлетворять числа \(a\) и \(b\).

\( \frac{1}{x} = ax + b \)

а) при \( a > 0, b > 0 \) – два корня.

б) при \( a > 0, b < 0 \) – два корня.

в) при \( a < 0, -2 < b < 2 \) – корней нет.

г) при \( a < 0, b = \pm 2 \) – один корень.

д) при \( a < 0, b < -2, b > 2 \) – два корня.

е) при \( a = 0, b < 0 \) – один корень.

ж) при \( a = 0, b > 0 \) – один корень.

з) при \( a = 0, b = 0 \) – корней нет.

а) \( \frac{1}{x} = ax + b \), при \( a > 0, b > 0 \).
Перепишем уравнение в виде \( \frac{1}{x} — ax = b \), или \( \frac{1 — a x^2}{x} = b \). Домножим на \( x \neq 0 \), получим \( 1 — a x^2 = b x \), то есть \( a x^2 + b x — 1 = 0 \). Это квадратное уравнение относительно \( x \). При \( a > 0, b > 0 \) дискриминант \( D = b^2 + 4a > 0 \), значит уравнение имеет два различных корня. Поскольку \( x \neq 0 \), оба корня подходят, следовательно, два корня.

б) При \( a > 0, b < 0 \) аналогично получаем квадратное уравнение \( a x^2 + b x — 1 = 0 \) с дискриминантом \( D = b^2 + 4a > 0 \). Несмотря на отрицательное \( b \), дискриминант положителен, значит два корня. Проверка на \( x \neq 0 \) соблюдается, оба корня допустимы.

в) При \( a < 0, -2 < b < 2 \) рассмотрим графики \( y = \frac{1}{x} \) и \( y = a x + b \). Прямая с отрицательным наклоном и \( b \) в интервале \( (-2, 2) \) не пересекает гиперболу, так как наклон и сдвиг не дают точек пересечения. Аналитически дискриминант \( D = b^2 + 4a < 0 \), значит корней нет.

г) При \( a < 0, b = \pm 2 \) дискриминант равен нулю: \( D = b^2 + 4a = 4 + 4a \). Поскольку \( a < 0 \), \( D = 0 \) при \( b = \pm 2 \). Значит уравнение имеет ровно один корень. Графически прямая касается гиперболы в одной точке.

д) При \( a < 0, b < -2 \) или \( b > 2 \) дискриминант \( D = b^2 + 4a > 0 \) (так как \( b^2 \) достаточно велико), значит два корня. Графики пересекаются в двух точках, так как прямая с отрицательным наклоном и большим по модулю сдвигом пересекает гиперболу дважды.

е) При \( a = 0, b < 0 \) уравнение принимает вид \( \frac{1}{x} = b \), то есть \( x = \frac{1}{b} \). Так как \( b \neq 0 \), корень существует и единственный.

ж) При \( a = 0, b > 0 \) аналогично \( \frac{1}{x} = b \), корень \( x = \frac{1}{b} \) существует и единственный.

з) При \( a = 0, b = 0 \) уравнение \( \frac{1}{x} = 0 \) не имеет решений, так как \( \frac{1}{x} \neq 0 \) для любого \( x \neq 0 \). Следовательно, корней нет.