Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 643 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь уравнение \(\frac{1}{x} = ax + b\), где \(a\) и \(b\) — некоторые числа. Для каждого случая укажите, каким условиям должны удовлетворять числа \(a\) и \(b\).
\( \frac{1}{x} = ax + b \)
а) при \( a > 0, b > 0 \) – два корня.
б) при \( a > 0, b < 0 \) – два корня.
в) при \( a < 0, -2 < b < 2 \) – корней нет.
г) при \( a < 0, b = \pm 2 \) – один корень.
д) при \( a < 0, b < -2, b > 2 \) – два корня.
е) при \( a = 0, b < 0 \) – один корень.
ж) при \( a = 0, b > 0 \) – один корень.
з) при \( a = 0, b = 0 \) – корней нет.
а) \( \frac{1}{x} = ax + b \), при \( a > 0, b > 0 \).
Перепишем уравнение в виде \( \frac{1}{x} — ax = b \), или \( \frac{1 — a x^2}{x} = b \). Домножим на \( x \neq 0 \), получим \( 1 — a x^2 = b x \), то есть \( a x^2 + b x — 1 = 0 \). Это квадратное уравнение относительно \( x \). При \( a > 0, b > 0 \) дискриминант \( D = b^2 + 4a > 0 \), значит уравнение имеет два различных корня. Поскольку \( x \neq 0 \), оба корня подходят, следовательно, два корня.
б) При \( a > 0, b < 0 \) аналогично получаем квадратное уравнение \( a x^2 + b x — 1 = 0 \) с дискриминантом \( D = b^2 + 4a > 0 \). Несмотря на отрицательное \( b \), дискриминант положителен, значит два корня. Проверка на \( x \neq 0 \) соблюдается, оба корня допустимы.
в) При \( a < 0, -2 < b < 2 \) рассмотрим графики \( y = \frac{1}{x} \) и \( y = a x + b \). Прямая с отрицательным наклоном и \( b \) в интервале \( (-2, 2) \) не пересекает гиперболу, так как наклон и сдвиг не дают точек пересечения. Аналитически дискриминант \( D = b^2 + 4a < 0 \), значит корней нет.
г) При \( a < 0, b = \pm 2 \) дискриминант равен нулю: \( D = b^2 + 4a = 4 + 4a \). Поскольку \( a < 0 \), \( D = 0 \) при \( b = \pm 2 \). Значит уравнение имеет ровно один корень. Графически прямая касается гиперболы в одной точке.
д) При \( a < 0, b < -2 \) или \( b > 2 \) дискриминант \( D = b^2 + 4a > 0 \) (так как \( b^2 \) достаточно велико), значит два корня. Графики пересекаются в двух точках, так как прямая с отрицательным наклоном и большим по модулю сдвигом пересекает гиперболу дважды.
е) При \( a = 0, b < 0 \) уравнение принимает вид \( \frac{1}{x} = b \), то есть \( x = \frac{1}{b} \). Так как \( b \neq 0 \), корень существует и единственный.
ж) При \( a = 0, b > 0 \) аналогично \( \frac{1}{x} = b \), корень \( x = \frac{1}{b} \) существует и единственный.
з) При \( a = 0, b = 0 \) уравнение \( \frac{1}{x} = 0 \) не имеет решений, так как \( \frac{1}{x} \neq 0 \) для любого \( x \neq 0 \). Следовательно, корней нет.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!