ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 644 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения \(x^2 — 2xy + y^2\) при \(x = 3 + \sqrt{5}\), \(y = 3 — \sqrt{5}\).

\(x^2 — 2xy + y^2 = (x — y)^2, \quad \text{при } x = 3 + \sqrt{5}, \quad y = 3 — \sqrt{5}\)
\((x — y)^2 = \left(3 + \sqrt{5} — 3 + \sqrt{5}\right)^2 = \left(2\sqrt{5}\right)^2 = 4 \cdot 5 = 20.\)

\(x^2 — 2xy + y^2 = (x — y)^2, \quad \text{при } x = 3 + \sqrt{5}, \quad y = 3 — \sqrt{5}\)

Данное выражение представляет собой разложение квадратного трехчлена \(x^2 — 2xy + y^2\) по формуле разности квадратов, которая равна квадрату разности двух чисел: \( (x — y)^2\). Это стандартное тождество, которое упрощает вычисления и позволяет перейти от сложного выражения к более простому виду. Здесь важно понять, что мы можем заменить исходное выражение на квадрат разности \(x\) и \(y\), чтобы дальше подставлять значения \(x\) и \(y\).

Подставим данные значения \(x = 3 + \sqrt{5}\) и \(y = 3 — \sqrt{5}\) в выражение \( (x — y)^2 \). Вычитаем \(y\) из \(x\), получаем:
\(x — y = (3 + \sqrt{5}) — (3 — \sqrt{5})\).
Здесь важно обратить внимание, что при вычитании скобок знак перед \(\sqrt{5}\) меняется на противоположный, поэтому:
\(x — y = 3 + \sqrt{5} — 3 + \sqrt{5} = 2\sqrt{5}\).

Теперь возьмем этот результат и возведем его в квадрат:
\((x — y)^2 = (2\sqrt{5})^2\).
При возведении в квадрат множителя \(2\sqrt{5}\) мы возводим в квадрат отдельно 2 и \(\sqrt{5}\), то есть:
\((2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20\).

Таким образом, исходное выражение \(x^2 — 2xy + y^2\) при заданных значениях \(x\) и \(y\) равно 20. Этот результат получен благодаря применению формулы разности квадратов и аккуратному подставлению и упрощению радикальных выражений.