ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 646 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) \(\frac{x — y}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} — \sqrt{x};\)
б) \(\sqrt{x} — \frac{x — y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}.\)

а) Рассмотрим выражение \( \frac{x — y}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} — \sqrt{x} \). Сначала приведём к общему знаменателю, чтобы объединить два слагаемых. Для этого вычитаем из числителя второе слагаемое, умноженное на знаменатель первого:
\( \frac{x — y}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} — \sqrt{x} = \frac{x — y — \sqrt{x}(\sqrt{x} — \sqrt{y})}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} \).

В числителе раскроем скобки: \( \sqrt{x}(\sqrt{x} — \sqrt{y}) = x — \sqrt{xy} \), тогда:
\( x — y — (x — \sqrt{xy}) = x — y — x + \sqrt{xy} = \sqrt{xy} — y \).

Подставим обратно:
\( \frac{\sqrt{xy} — y}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} \). Далее вынесем \( \sqrt{y} \) за скобки в числителе:
\( \sqrt{y}(\sqrt{x} — \sqrt{y}) \). Тогда дробь примет вид:
\( \frac{\sqrt{y}(\sqrt{x} — \sqrt{y})}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} \).

Так как \( \sqrt{x} — \sqrt{y} \neq 0 \), сокращаем на этот множитель и получаем:
\( \sqrt{y} \).

б) Рассмотрим выражение \( \sqrt{x} — \frac{x — y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \). Приведём к общему знаменателю:
\( \sqrt{x} — \frac{x — y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) — (x — y)}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \).

Раскроем скобки в числителе:
\( \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} — x + y = x + \sqrt{xy} — x + y = \sqrt{xy} + y \).

Подставим обратно:
\( \frac{\sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \). Вынесем \( \sqrt{y} \) в числителе:
\( \sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) \). Тогда дробь примет вид:
\( \frac{\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \).

При условии \( \sqrt{x} + \sqrt{y} \neq 0 \) сокращаем на этот множитель и получаем:
\( \sqrt{y} \).

\( y = x^2 + 2x + 5 \)

а) Точка \( A(1,5; 7,25) \). Чтобы проверить, принадлежит ли точка графику функции, подставим значение \( x = 1,5 \) в уравнение и вычислим \( y \). Подстановка необходима, потому что график функции — это множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению.

Подставляем:
\( y = (1,5)^2 + 2 \cdot 1,5 + 5 \).
Вычисляем квадраты и произведения:
\( (1,5)^2 = 2,25 \),
\( 2 \cdot 1,5 = 3 \).
Складываем:
\( y = 2,25 + 3 + 5 = 10,25 \).
Сравниваем полученное значение с координатой \( y \) точки \( A \), которая равна 7,25. Поскольку \( 7,25 \neq 10,25 \), то точка \( A \) не лежит на графике функции.

б) Точка \( B(-3,2; 9) \). Аналогично, проверяем принадлежность точки графику, подставляя \( x = -3,2 \) в уравнение функции. Это важно, так как если координаты точки не удовлетворяют уравнению, то точка не находится на графике.

Подставляем:
\( y = (-3,2)^2 + 2 \cdot (-3,2) + 5 \).
Вычисляем:
\( (-3,2)^2 = 10,24 \),
\( 2 \cdot (-3,2) = -6,4 \).
Складываем:
\( y = 10,24 — 6,4 + 5 = 8,84 \).
Сравниваем с \( y \)-координатой точки \( B \), равной 9. Поскольку \( 9 \neq 8,84 \), точка \( B \) также не принадлежит графику функции.

Таким образом, для обеих точек мы выполнили проверку принадлежности графику функции, подставив координату \( x \) в уравнение и сравнив вычисленное значение \( y \) с заданным. В обоих случаях значения не совпали, значит, ни одна из точек не лежит на графике функции \( y = x^2 + 2x + 5 \).