ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 647 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Сравните с нулём значение выражения:
а) \(\frac{3ab}{a^2 + b^2}\), где \(a > 0\), \(b < 0\); б) \(\frac{5a^3b^2}{a + b}\), где \(a < 0\), \(b < 0\).

\( a) \ \frac{3ab}{a^2 + b^2}, \quad a > 0, \quad b < 0 \) \(\frac{3a(-b)}{a^2 + b^2} = - = - \) \(\frac{3ab}{a^2 + b^2} < 0.\) \( б) \ \frac{5a^3 b^2}{a + b}, \quad a < 0, \quad b < 0 \) \(\frac{5(-a)^3 b^2}{-a - b} = - = + \) \(\frac{5a^3 b^2}{a + b} > 0.\)

а) \(\frac{3ab}{a^2 + b^2}, \quad a > 0, \quad b < 0\). Здесь числитель выражения равен \(3ab\), где \(a > 0\), а \(b < 0\). Произведение \(ab\) при таких условиях будет отрицательным, так как знак произведения зависит от знаков сомножителей: положительное число, умноженное на отрицательное, даёт отрицательное число. Значит, \(3ab < 0\). Знаменатель \(a^2 + b^2\) всегда положителен, так как квадраты любых чисел неотрицательны и сумма двух неотрицательных чисел, где хотя бы одно строго положительно, даёт строго положительное число. Значит, знаменатель \(a^2 + b^2 > 0\). При делении отрицательного числителя на положительный знаменатель результат будет отрицательным.

Подставим знак минус вместо числителя: \(\frac{3a(-b)}{a^2 + b^2} = — = -\). Следовательно, выражение \(\frac{3ab}{a^2 + b^2} < 0\). б) \(\frac{5a^3 b^2}{a + b}, \quad a < 0, \quad b < 0\). Рассмотрим числитель: \(5a^3 b^2\). Поскольку \(a < 0\), то \(a^3 = a \cdot a \cdot a\) — это произведение трёх отрицательных чисел, что даёт отрицательное число (минус в степени нечётного числа сохраняет знак). При этом \(b^2\) — квадрат отрицательного числа, который всегда положителен. Значит, произведение \(a^3 b^2\) будет отрицательным, так как отрицательное число, умноженное на положительное, остаётся отрицательным. Теперь знаменатель \(a + b\). Поскольку оба числа отрицательны, их сумма \(a + b\) также будет отрицательной, так как сумма двух отрицательных чисел меньше нуля. Дробь с отрицательным числителем и отрицательным знаменателем даёт положительный результат, так как минус на минус даёт плюс. Это подтверждается преобразованием: \(\frac{5(-a)^3 b^2}{-a - b} = - = +\). Следовательно, \(\frac{5a^3 b^2}{a + b} > 0\).