Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 648 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Знаменатель обыкновенной дроби больше её числителя на 3. Если к числителю этой дроби прибавить 7, а к знаменателю — 5, то она увеличится на \( \frac{1}{2} \). Найдите эту дробь.
Пусть числитель равен \( x \), а знаменатель равен \( x + 3 \). Составим уравнение:
\( \frac{x+7}{x+3+5} = \frac{x}{x+3} + \frac{1}{2} \)
\( \frac{x+7}{x+8} = \frac{x}{x+3} + \frac{1}{2} \)
\( 2(x+7)(x+3) = 2x(x+8) + (x+8)(x+3) \)
\( 2(x^2 + 3x + 7x + 21) = 2x^2 + 16x + x^2 + 3x + 8x + 24 \)
\( 2x^2 + 20x + 42 = 3x^2 + 27x + 24 \)
\( 3x^2 + 27x + 24 — 2x^2 — 20x — 42 = 0 \)
\( x^2 + 7x — 18 = 0 \)
\( D = 49 + 4 \cdot 18 = 49 + 72 = 121 = 11^2 \)
\( x_1 = \frac{-7-11}{2} = \frac{-18}{2} = -9, \quad x_2 = \frac{-7+11}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
При \( x = -9 \):
\( \frac{-9}{-9+3} = \frac{-9}{-6} = \frac{3}{2} \) — не подходит.
При \( x = 2 \):
\( \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5} \) — подходит.
Ответ: \( \frac{2}{5} \)
Обозначим числитель исходной дроби через \( x \), тогда знаменатель равен \( x + 3 \). По условию задачи, когда к числителю прибавляем 7, а к знаменателю прибавляем 5, получаем новую дробь \( \frac{x+7}{x+8} \). Эта новая дробь на \( \frac{1}{2} \) больше исходной дроби \( \frac{x}{x+3} \). Составляем уравнение: \( \frac{x+7}{x+8} = \frac{x}{x+3} + \frac{1}{2} \). Это уравнение выражает основное соотношение между исходной и изменённой дробями.
Для решения уравнения приводим правую часть к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей \( \frac{x}{x+3} \) и \( \frac{1}{2} \) равен \( 2(x+3) \). Получаем: \( \frac{x+7}{x+8} = \frac{2x}{2(x+3)} + \frac{x+3}{2(x+3)} = \frac{2x + x + 3}{2(x+3)} = \frac{3x + 3}{2(x+3)} \). Теперь имеем пропорцию: \( \frac{x+7}{x+8} = \frac{3x+3}{2(x+3)} \).
Применяем свойство пропорции — произведение крайних членов равно произведению средних: \( 2(x+7)(x+3) = (x+8)(3x+3) \). Раскрываем скобки в левой части: \( 2(x^2 + 3x + 7x + 21) = 2(x^2 + 10x + 21) = 2x^2 + 20x + 42 \). Раскрываем скобки в правой части: \( (x+8)(3x+3) = 3x^2 + 3x + 24x + 24 = 3x^2 + 27x + 24 \). Получаем уравнение: \( 2x^2 + 20x + 42 = 3x^2 + 27x + 24 \).
Переносим все члены в левую часть: \( 2x^2 + 20x + 42 — 3x^2 — 27x — 24 = 0 \), откуда \( -x^2 — 7x + 18 = 0 \), или эквивалентно \( x^2 + 7x — 18 = 0 \). Это квадратное уравнение решаем через дискриминант. Вычисляем: \( D = b^2 — 4ac = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2 \). Дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных действительных корня.
Находим корни по формуле: \( x_1 = \frac{-7 — 11}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \) и \( x_2 = \frac{-7 + 11}{2} = \frac{4}{2} = 2 \). Оба значения являются действительными числами, но нужно проверить их допустимость. Для исходной дроби \( \frac{x}{x+3} \) требуется, чтобы знаменатель был ненулевым, то есть \( x + 3 \neq 0 \), откуда \( x \neq -3 \). Для новой дроби \( \frac{x+7}{x+8} \) требуется \( x + 8 \neq 0 \), откуда \( x \neq -8 \). Оба найденные корни удовлетворяют этим условиям.
Проверяем корень \( x = -9 \). Подставляем в исходную дробь: \( \frac{-9}{-9+3} = \frac{-9}{-6} = \frac{3}{2} \). Подставляем в новую дробь: \( \frac{-9+7}{-9+8} = \frac{-2}{-1} = 2 \). Проверяем соотношение: \( 2 = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \). Равенство верно, однако нужно учесть, что исходная дробь \( \frac{3}{2} \) положительна, а знаменатель исходной дроби \( -6 \) отрицателен. В контексте задачи обычно ищут положительные дроби с положительными знаменателями, поэтому этот корень может быть отклонён.
Проверяем корень \( x = 2 \). Подставляем в исходную дробь: \( \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5} \). Подставляем в новую дробь: \( \frac{2+7}{2+8} = \frac{9}{10} \). Проверяем соотношение: \( \frac{9}{10} = \frac{2}{5} + \frac{1}{2} = \frac{4}{10} + \frac{5}{10} = \frac{9}{10} \). Равенство верно. Исходная дробь \( \frac{2}{5} \) имеет положительный числитель и положительный знаменатель, что соответствует стандартной интерпретации задачи.
Таким образом, исходная дробь равна \( \frac{2}{5} \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!