ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 648 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Знаменатель обыкновенной дроби больше её числителя на 3. Если к числителю этой дроби прибавить 7, а к знаменателю — 5, то она увеличится на \( \frac{1}{2} \). Найдите эту дробь.

Пусть числитель равен \( x \), а знаменатель равен \( x + 3 \). Составим уравнение:

\( \frac{x+7}{x+3+5} = \frac{x}{x+3} + \frac{1}{2} \)

\( \frac{x+7}{x+8} = \frac{x}{x+3} + \frac{1}{2} \)

\( 2(x+7)(x+3) = 2x(x+8) + (x+8)(x+3) \)

\( 2(x^2 + 3x + 7x + 21) = 2x^2 + 16x + x^2 + 3x + 8x + 24 \)

\( 2x^2 + 20x + 42 = 3x^2 + 27x + 24 \)

\( 3x^2 + 27x + 24 — 2x^2 — 20x — 42 = 0 \)

\( x^2 + 7x — 18 = 0 \)

\( D = 49 + 4 \cdot 18 = 49 + 72 = 121 = 11^2 \)

\( x_1 = \frac{-7-11}{2} = \frac{-18}{2} = -9, \quad x_2 = \frac{-7+11}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

При \( x = -9 \):

\( \frac{-9}{-9+3} = \frac{-9}{-6} = \frac{3}{2} \) — не подходит.

При \( x = 2 \):

\( \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5} \) — подходит.

Ответ: \( \frac{2}{5} \)

Обозначим числитель исходной дроби через \( x \), тогда знаменатель равен \( x + 3 \). По условию задачи, когда к числителю прибавляем 7, а к знаменателю прибавляем 5, получаем новую дробь \( \frac{x+7}{x+8} \). Эта новая дробь на \( \frac{1}{2} \) больше исходной дроби \( \frac{x}{x+3} \). Составляем уравнение: \( \frac{x+7}{x+8} = \frac{x}{x+3} + \frac{1}{2} \). Это уравнение выражает основное соотношение между исходной и изменённой дробями.

Для решения уравнения приводим правую часть к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей \( \frac{x}{x+3} \) и \( \frac{1}{2} \) равен \( 2(x+3) \). Получаем: \( \frac{x+7}{x+8} = \frac{2x}{2(x+3)} + \frac{x+3}{2(x+3)} = \frac{2x + x + 3}{2(x+3)} = \frac{3x + 3}{2(x+3)} \). Теперь имеем пропорцию: \( \frac{x+7}{x+8} = \frac{3x+3}{2(x+3)} \).

Применяем свойство пропорции — произведение крайних членов равно произведению средних: \( 2(x+7)(x+3) = (x+8)(3x+3) \). Раскрываем скобки в левой части: \( 2(x^2 + 3x + 7x + 21) = 2(x^2 + 10x + 21) = 2x^2 + 20x + 42 \). Раскрываем скобки в правой части: \( (x+8)(3x+3) = 3x^2 + 3x + 24x + 24 = 3x^2 + 27x + 24 \). Получаем уравнение: \( 2x^2 + 20x + 42 = 3x^2 + 27x + 24 \).

Переносим все члены в левую часть: \( 2x^2 + 20x + 42 — 3x^2 — 27x — 24 = 0 \), откуда \( -x^2 — 7x + 18 = 0 \), или эквивалентно \( x^2 + 7x — 18 = 0 \). Это квадратное уравнение решаем через дискриминант. Вычисляем: \( D = b^2 — 4ac = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2 \). Дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных действительных корня.

Находим корни по формуле: \( x_1 = \frac{-7 — 11}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \) и \( x_2 = \frac{-7 + 11}{2} = \frac{4}{2} = 2 \). Оба значения являются действительными числами, но нужно проверить их допустимость. Для исходной дроби \( \frac{x}{x+3} \) требуется, чтобы знаменатель был ненулевым, то есть \( x + 3 \neq 0 \), откуда \( x \neq -3 \). Для новой дроби \( \frac{x+7}{x+8} \) требуется \( x + 8 \neq 0 \), откуда \( x \neq -8 \). Оба найденные корни удовлетворяют этим условиям.

Проверяем корень \( x = -9 \). Подставляем в исходную дробь: \( \frac{-9}{-9+3} = \frac{-9}{-6} = \frac{3}{2} \). Подставляем в новую дробь: \( \frac{-9+7}{-9+8} = \frac{-2}{-1} = 2 \). Проверяем соотношение: \( 2 = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \). Равенство верно, однако нужно учесть, что исходная дробь \( \frac{3}{2} \) положительна, а знаменатель исходной дроби \( -6 \) отрицателен. В контексте задачи обычно ищут положительные дроби с положительными знаменателями, поэтому этот корень может быть отклонён.

Проверяем корень \( x = 2 \). Подставляем в исходную дробь: \( \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5} \). Подставляем в новую дробь: \( \frac{2+7}{2+8} = \frac{9}{10} \). Проверяем соотношение: \( \frac{9}{10} = \frac{2}{5} + \frac{1}{2} = \frac{4}{10} + \frac{5}{10} = \frac{9}{10} \). Равенство верно. Исходная дробь \( \frac{2}{5} \) имеет положительный числитель и положительный знаменатель, что соответствует стандартной интерпретации задачи.

Таким образом, исходная дробь равна \( \frac{2}{5} \).