ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 649 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Из города в село, находящееся от него на расстоянии 120 км, выехали одновременно два автомобиля. Скорость одного была на 20 км/ч больше скорости другого, и поэтому он пришёл к месту назначения на 1 ч раньше. Найдите скорость каждого автомобиля.

Пусть \( x \) км/ч — скорость первого автомобиля, тогда \( x + 20 \) км/ч — скорость второго автомобиля.

Составим уравнение:

\( \frac{120}{x} — \frac{120}{x + 20} = 1 \)

\( 120(x + 20) — 120x = x(x + 20) \)

\( 120x + 2400 — 120x = x^2 + 20x \)

\( x^2 + 20x — 2400 = 0 \)

Найдём дискриминант:

\( D = 400 + 4 \cdot 2400 = 400 + 9600 = 10000 = 100^2 \)

Найдём корни:

\( x_1 = \frac{-20 — 100}{2} = \frac{-120}{2} = -60 \) — не подходит,

\( x_2 = \frac{-20 + 100}{2} = \frac{80}{2} = 40 \) (км/ч) — скорость первого автомобиля.

\( x + 20 = 40 + 20 = 60 \) (км/ч) — скорость второго автомобиля.

Ответ: 40 км/ч и 60 км/ч.

Обозначим скорость первого автомобиля через \( x \) км/ч. По условию задачи скорость второго автомобиля на 20 км/ч больше, поэтому она равна \( x + 20 \) км/ч. Оба автомобиля преодолевают расстояние в 120 км, но с разными скоростями, что означает, что они затрачивают разное время на этот путь. Время прохождения пути вычисляется по формуле \( t = \frac{s}{v} \), где \( s \) — расстояние, а \( v \) — скорость. Таким образом, время первого автомобиля составляет \( \frac{120}{x} \) часов, а время второго автомобиля составляет \( \frac{120}{x + 20} \) часов.

По условию задачи первый автомобиль затрачивает на 1 час больше времени, чем второй автомобиль. Это означает, что разность времён равна единице. Составляем уравнение: \( \frac{120}{x} — \frac{120}{x + 20} = 1 \). Это уравнение отражает тот факт, что медленный автомобиль (первый) едет дольше на 1 час по сравнению с более быстрым автомобилем (вторым). Левая часть уравнения представляет разность времён в часах, а правая часть равна 1 часу.

Для решения уравнения приведём обе дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей \( \frac{120}{x} \) и \( \frac{120}{x + 20} \) равен \( x(x + 20) \). Умножаем первую дробь на \( (x + 20) \), а вторую дробь на \( x \): \( \frac{120(x + 20)}{x(x + 20)} — \frac{120x}{x(x + 20)} = 1 \). Объединяя дроби с одинаковым знаменателем, получаем: \( \frac{120(x + 20) — 120x}{x(x + 20)} = 1 \).

Раскроем скобки в числителе левой части уравнения. Имеем: \( 120(x + 20) — 120x = 120x + 2400 — 120x = 2400 \). Таким образом, уравнение принимает вид: \( \frac{2400}{x(x + 20)} = 1 \). Умножаем обе части уравнения на знаменатель \( x(x + 20) \), чтобы избавиться от дроби: \( 2400 = x(x + 20) \). Раскрываем скобки в правой части: \( 2400 = x^2 + 20x \). Переносим все члены в левую часть и приводим к стандартному виду квадратного уравнения: \( x^2 + 20x — 2400 = 0 \).

Решаем квадратное уравнение \( x^2 + 20x — 2400 = 0 \) с помощью дискриминанта. Коэффициенты уравнения: \( a = 1 \), \( b = 20 \), \( c = -2400 \). Вычисляем дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \): \( D = 20^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2400) = 400 + 9600 = 10000 \). Дискриминант равен 10000, что является полным квадратом: \( D = 100^2 \). Это означает, что уравнение имеет два действительных корня.

Применяем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Подставляем найденные значения: \( x = \frac{-20 \pm 100}{2} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{-20 — 100}{2} = \frac{-120}{2} = -60 \). Второй корень: \( x_2 = \frac{-20 + 100}{2} = \frac{80}{2} = 40 \). Первый корень \( x_1 = -60 \) отрицательный и не подходит для решения задачи, так как скорость не может быть отрицательной величиной. Поэтому единственным допустимым решением является \( x_2 = 40 \) км/ч.

Скорость первого автомобиля равна \( x = 40 \) км/ч. Скорость второго автомобиля равна \( x + 20 = 40 + 20 = 60 \) км/ч. Проверим полученный результат: время первого автомобиля составляет \( \frac{120}{40} = 3 \) часа, время второго автомобиля составляет \( \frac{120}{60} = 2 \) часа. Разность времён: \( 3 — 2 = 1 \) час, что соответствует условию задачи. Таким образом, скорость первого автомобиля составляет 40 км/ч, а скорость второго автомобиля составляет 60 км/ч.