ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 65 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что при всех допустимых значениях \(x\) значение выражения не зависит от \(x\):
а) \(\frac{3x+5}{2x-1} + \frac{7x+3}{1-2x};\)
б) \(\frac{5x+1}{5x-20} + \frac{x+17}{20-5x}.\)

а) \(\frac{3x+5}{2x-1} + \frac{7x+3}{1-2x} = \frac{3x+5}{2x-1} — \frac{7x+3}{2x-1} = \frac{3x+5 — (7x+3)}{2x-1} = \frac{3x+5 — 7x — 3}{2x-1} = \frac{-4x + 2}{2x-1} =\) \(= \frac{-2 \cdot (2x-1)}{2x-1} = -2\) — не зависит от \(x\).

б) \(\frac{5x+1}{5x-20} + \frac{x+17}{20-5x} = \frac{5x+1}{5(x-4)} — \frac{x+17}{5(x-4)} = \frac{5x+1 — (x+17)}{5(x-4)} = \frac{4x — 16}{5(x-4)} = \frac{4(x-4)}{5(x-4)} = \frac{4}{5}\) — не зависит от \(x\).

а) Рассмотрим выражение \(\frac{3x+5}{2x-1} + \frac{7x+3}{1-2x}\). Для начала обратим внимание на знаменатели: \(2x-1\) и \(1-2x\). Заметим, что \(1-2x = -(2x-1)\), то есть знаменатели отличаются знаком. Это позволяет переписать вторую дробь с общим знаменателем \(2x-1\), но со знаком минус: \(\frac{7x+3}{1-2x} = -\frac{7x+3}{2x-1}\).

Теперь имеем сумму двух дробей с одинаковым знаменателем: \(\frac{3x+5}{2x-1} — \frac{7x+3}{2x-1}\). Складываем числители: \(3x+5 — (7x+3) = 3x + 5 — 7x — 3 = -4x + 2\). В итоге получаем дробь \(\frac{-4x + 2}{2x-1}\).

Далее выделим общий множитель в числителе: \(-4x + 2 = -2(2x — 1)\). Подставляя обратно, дробь становится \(\frac{-2(2x-1)}{2x-1}\). Сокращая одинаковые множители в числителе и знаменателе, получаем \(-2\). Таким образом, выражение не зависит от переменной \(x\) и равно \(-2\).

б) Рассмотрим выражение \(\frac{5x+1}{5x-20} + \frac{x+17}{20-5x}\). Сначала упростим знаменатели. Заметим, что \(5x-20 = 5(x-4)\), а \(20-5x = -(5x-20) = -5(x-4)\). Значит, вторую дробь можно записать как \(\frac{x+17}{20-5x} = -\frac{x+17}{5(x-4)}\).

Теперь обе дроби имеют общий знаменатель \(5(x-4)\), но знак у второй дроби отрицательный. Сложим дроби: \(\frac{5x+1}{5(x-4)} — \frac{x+17}{5(x-4)} = \frac{5x+1 — (x+17)}{5(x-4)}\).

В числителе выполняем вычитание: \(5x + 1 — x — 17 = 4x — 16\). Можно вынести общий множитель: \(4x — 16 = 4(x-4)\). Подставляя обратно, получаем \(\frac{4(x-4)}{5(x-4)}\).

Сокращаем множитель \(x-4\) в числителе и знаменателе, остаётся \(\frac{4}{5}\). Следовательно, выражение не зависит от \(x\) и равно \(\frac{4}{5}\).