Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 650 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Один из лыжников прошёл расстояние в 20 км на 20 мин быстрее, чем другой. Найдите скорость каждого лыжника, зная, что один из них двигался со скоростью, на 2 км/ч большей, чем другой.
Пусть \( x \) км/ч — скорость первого лыжника, тогда скорость второго лыжника \( x + 2 \) км/ч. Второй лыжник прошел на 20 мин = \( \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \) ч быстрее.
Составим уравнение:
\( \frac{20}{x} — \frac{20}{x+2} = \frac{1}{3} \)
\( 20 \cdot 3(x+2) — 20 \cdot 3x = x(x+2) \)
\( 60x + 120 — 60x = x^2 + 2x \)
\( x^2 + 2x — 120 = 0 \)
\( D = 4 + 4 \cdot 120 = 4 + 480 = 484 = 22^2 \)
\( x_1 = \frac{-2-22}{2} = \frac{-24}{2} = -12 \) — не подходит,
\( x_2 = \frac{-2+22}{2} = \frac{20}{2} = 10 \) (км/ч) — скорость первого лыжника.
\( x + 2 = 10 + 2 = 12 \) (км/ч) — скорость второго лыжника.
Ответ: 10 км/ч и 12 км/ч.
Обозначим скорость первого лыжника через \( x \) км/ч. Тогда по условию задачи скорость второго лыжника составляет \( x + 2 \) км/ч, так как он движется на 2 км/ч быстрее. Оба лыжника преодолели одинаковое расстояние, равное 20 км. Различие заключается во времени, затраченном на прохождение этого пути: второй лыжник прошел быстрее на 20 минут, что соответствует \( \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \) часа. Это ключевое условие позволяет нам составить уравнение, связывающее скорости и время движения обоих лыжников.
Составим уравнение на основе соотношения между расстоянием, скоростью и временем. Время, затраченное первым лыжником, равно \( \frac{20}{x} \) часов, а время второго лыжника составляет \( \frac{20}{x+2} \) часов. Поскольку первый лыжник шел дольше на \( \frac{1}{3} \) часа, получаем уравнение: \( \frac{20}{x} — \frac{20}{x+2} = \frac{1}{3} \). Для решения этого уравнения приведем его к стандартному виду, умножив обе части на \( 3x(x+2) \), чтобы избавиться от дробей и получить квадратное уравнение.
После умножения обеих частей уравнения на \( 3x(x+2) \) получаем: \( 20 \cdot 3(x+2) — 20 \cdot 3x = x(x+2) \). Раскроем скобки в левой части: \( 60x + 120 — 60x = x^2 + 2x \). Упростим выражение, заметив, что \( 60x \) и \( -60x \) взаимно сокращаются: \( 120 = x^2 + 2x \). Перенесем все члены в одну сторону и получим квадратное уравнение в стандартном виде: \( x^2 + 2x — 120 = 0 \).
Решим квадратное уравнение \( x^2 + 2x — 120 = 0 \) с помощью дискриминанта. Вычислим дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -120 \): \( D = 4 + 4 \cdot 120 = 4 + 480 = 484 \). Заметим, что \( 484 = 22^2 \), поэтому \( \sqrt{D} = 22 \). Это означает, что уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни уравнения, используя формулу \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{-2 — 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12 \). Этот корень не подходит для нашей задачи, так как скорость не может быть отрицательной величиной. Второй корень: \( x_2 = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10 \). Этот корень является положительным и имеет физический смысл, поэтому скорость первого лыжника равна 10 км/ч.
Найдем скорость второго лыжника, подставив найденное значение в выражение \( x + 2 \): скорость второго лыжника составляет \( 10 + 2 = 12 \) км/ч. Проверим полученный результат: первый лыжник прошел 20 км со скоростью 10 км/ч, затратив \( \frac{20}{10} = 2 \) часа; второй лыжник прошел 20 км со скоростью 12 км/ч, затратив \( \frac{20}{12} = \frac{5}{3} \) часа. Разница во времени составляет \( 2 — \frac{5}{3} = \frac{6}{3} — \frac{5}{3} = \frac{1}{3} \) часа, что соответствует 20 минутам, как и требовалось по условию задачи. Таким образом, скорость первого лыжника равна 10 км/ч, а скорость второго лыжника равна 12 км/ч.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!