ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 650 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Один из лыжников прошёл расстояние в 20 км на 20 мин быстрее, чем другой. Найдите скорость каждого лыжника, зная, что один из них двигался со скоростью, на 2 км/ч большей, чем другой.

Пусть \( x \) км/ч — скорость первого лыжника, тогда скорость второго лыжника \( x + 2 \) км/ч. Второй лыжник прошел на 20 мин = \( \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \) ч быстрее.

Составим уравнение:

\( \frac{20}{x} — \frac{20}{x+2} = \frac{1}{3} \)

\( 20 \cdot 3(x+2) — 20 \cdot 3x = x(x+2) \)

\( 60x + 120 — 60x = x^2 + 2x \)

\( x^2 + 2x — 120 = 0 \)

\( D = 4 + 4 \cdot 120 = 4 + 480 = 484 = 22^2 \)

\( x_1 = \frac{-2-22}{2} = \frac{-24}{2} = -12 \) — не подходит,

\( x_2 = \frac{-2+22}{2} = \frac{20}{2} = 10 \) (км/ч) — скорость первого лыжника.

\( x + 2 = 10 + 2 = 12 \) (км/ч) — скорость второго лыжника.

Ответ: 10 км/ч и 12 км/ч.

Обозначим скорость первого лыжника через \( x \) км/ч. Тогда по условию задачи скорость второго лыжника составляет \( x + 2 \) км/ч, так как он движется на 2 км/ч быстрее. Оба лыжника преодолели одинаковое расстояние, равное 20 км. Различие заключается во времени, затраченном на прохождение этого пути: второй лыжник прошел быстрее на 20 минут, что соответствует \( \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \) часа. Это ключевое условие позволяет нам составить уравнение, связывающее скорости и время движения обоих лыжников.

Составим уравнение на основе соотношения между расстоянием, скоростью и временем. Время, затраченное первым лыжником, равно \( \frac{20}{x} \) часов, а время второго лыжника составляет \( \frac{20}{x+2} \) часов. Поскольку первый лыжник шел дольше на \( \frac{1}{3} \) часа, получаем уравнение: \( \frac{20}{x} — \frac{20}{x+2} = \frac{1}{3} \). Для решения этого уравнения приведем его к стандартному виду, умножив обе части на \( 3x(x+2) \), чтобы избавиться от дробей и получить квадратное уравнение.

После умножения обеих частей уравнения на \( 3x(x+2) \) получаем: \( 20 \cdot 3(x+2) — 20 \cdot 3x = x(x+2) \). Раскроем скобки в левой части: \( 60x + 120 — 60x = x^2 + 2x \). Упростим выражение, заметив, что \( 60x \) и \( -60x \) взаимно сокращаются: \( 120 = x^2 + 2x \). Перенесем все члены в одну сторону и получим квадратное уравнение в стандартном виде: \( x^2 + 2x — 120 = 0 \).

Решим квадратное уравнение \( x^2 + 2x — 120 = 0 \) с помощью дискриминанта. Вычислим дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -120 \): \( D = 4 + 4 \cdot 120 = 4 + 480 = 484 \). Заметим, что \( 484 = 22^2 \), поэтому \( \sqrt{D} = 22 \). Это означает, что уравнение имеет два действительных корня.

Найдем корни уравнения, используя формулу \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{-2 — 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12 \). Этот корень не подходит для нашей задачи, так как скорость не может быть отрицательной величиной. Второй корень: \( x_2 = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10 \). Этот корень является положительным и имеет физический смысл, поэтому скорость первого лыжника равна 10 км/ч.

Найдем скорость второго лыжника, подставив найденное значение в выражение \( x + 2 \): скорость второго лыжника составляет \( 10 + 2 = 12 \) км/ч. Проверим полученный результат: первый лыжник прошел 20 км со скоростью 10 км/ч, затратив \( \frac{20}{10} = 2 \) часа; второй лыжник прошел 20 км со скоростью 12 км/ч, затратив \( \frac{20}{12} = \frac{5}{3} \) часа. Разница во времени составляет \( 2 — \frac{5}{3} = \frac{6}{3} — \frac{5}{3} = \frac{1}{3} \) часа, что соответствует 20 минутам, как и требовалось по условию задачи. Таким образом, скорость первого лыжника равна 10 км/ч, а скорость второго лыжника равна 12 км/ч.