Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 651 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 ч раньше второго. Найдите скорость каждого автомобиля, зная, что расстояние между городами равно 560 км.
Пусть \( x \) км/ч — скорость первого автомобиля, тогда скорость второго автомобиля \( x — 10 \) км/ч. Составим уравнение:
\( \frac{560}{x — 10} — \frac{560}{x} = 1 \)
\( 560x — 560(x — 10) = x(x — 10) \)
\( 560x — 560x + 5600 = x^2 — 10x \)
\( x^2 — 10x — 5600 = 0 \)
\( D = 100 + 4 \cdot 5600 = 100 + 22400 = 22500 = 150^2 \)
\( x_1 = \frac{10 — 150}{2} = \frac{-140}{2} = -70 \) — не подходит,
\( x_2 = \frac{10 + 150}{2} = \frac{160}{2} = 80 \) (км/ч) — скорость первого авто.
\( x — 10 = 80 — 10 = 70 \) (км/ч) — скорость второго авто.
Ответ: 80 км/ч и 70 км/ч.
Обозначим скорость первого автомобиля как \( x \) км/ч. По условию задачи скорость второго автомобиля на 10 км/ч меньше, поэтому она равна \( x — 10 \) км/ч. Оба автомобиля преодолевают расстояние 560 км, но первый автомобиль тратит на это на 1 час меньше времени, чем второй. Время в пути для первого автомобиля составляет \( \frac{560}{x} \) часов, а для второго — \( \frac{560}{x — 10} \) часов. Разница во времени равна 1 часу, что позволяет нам составить уравнение.
Составляем уравнение на основе условия, что второй автомобиль едет дольше на 1 час: \( \frac{560}{x — 10} — \frac{560}{x} = 1 \). Приводим левую часть к общему знаменателю \( x(x — 10) \). Числитель первой дроби после приведения: \( 560x \), числитель второй дроби: \( 560(x — 10) \). Получаем \( \frac{560x — 560(x — 10)}{x(x — 10)} = 1 \).
Раскрываем скобки в числителе: \( 560x — 560x + 5600 = 5600 \). Таким образом, уравнение принимает вид \( \frac{5600}{x(x — 10)} = 1 \). Умножаем обе части на \( x(x — 10) \): \( 5600 = x(x — 10) \), откуда \( 5600 = x^2 — 10x \). Переносим все в левую часть и получаем квадратное уравнение \( x^2 — 10x — 5600 = 0 \).
Решаем квадратное уравнение через дискриминант. Коэффициенты: \( a = 1 \), \( b = -10 \), \( c = -5600 \). Вычисляем дискриминант: \( D = b^2 — 4ac = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5600) = 100 + 22400 = 22500 \). Заметим, что \( 22500 = 150^2 \), поэтому \( \sqrt{D} = 150 \). Это означает, что уравнение имеет два действительных корня.
Находим корни по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{10 — 150}{2} = \frac{-140}{2} = -70 \). Этот корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательной величиной. Второй корень: \( x_2 = \frac{10 + 150}{2} = \frac{160}{2} = 80 \). Этот корень имеет физический смысл и является решением задачи.
Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч. Скорость второго автомобиля вычисляется как \( x — 10 = 80 — 10 = 70 \) км/ч. Проверим результат: первый автомобиль проходит 560 км со скоростью 80 км/ч за время \( \frac{560}{80} = 7 \) часов, второй автомобиль проходит 560 км со скоростью 70 км/ч за время \( \frac{560}{70} = 8 \) часов. Разница составляет \( 8 — 7 = 1 \) час, что соответствует условию задачи.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!